Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động khá thú vị. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ đề bài và lập phương trình một cách chính xác. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định. Khi đi được \(\frac{2}{3}\) quãng đường AB, người đó dừng xe nghỉ 12 phút. Để đảm bảo đến B đúng thời gian dự định, người đó đã tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của người đi xe máy đó.

Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Phân tích đề bài, xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm.
2. Đặt ẩn số và thiết lập điều kiện cho ẩn.
3. Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn số.
4. Lập phương trình dựa trên mối quan hệ giữa các đại lượng.
5. Giải phương trình và kiểm tra điều kiện.
6. Kết luận.

Bước 1: Phân tích đề bài và tóm tắt các thông tin quan trọng

• Quãng đường AB: \(S = 120\) km.
• Vận tốc dự định: cần tìm.
• Quãng đường đi được ban đầu: \(\frac{2}{3}\) quãng đường AB.
• Thời gian nghỉ: 12 phút.
• Vận tốc trên quãng đường còn lại: tăng thêm 10 km/h so với vận tốc dự định.
• Mục tiêu: đến B đúng thời gian dự định.

Bước 2: Đặt ẩn số và điều kiện

Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là \(v\) (km/h).

Điều kiện: \(v > 0\) (vận tốc phải là một số dương).

Bước 3: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn số

1. Thời gian dự định đi hết quãng đường AB:

Theo công thức \(t = \frac{S}{v}\), thời gian dự định là: \(t_{dự định} = \frac{120}{v}\) (giờ).

2. Phân tích chặng đường thực tế:

a) Quãng đường đi được \(\frac{2}{3}\) đầu tiên:

• Quãng đường này là: \(S_1 = \frac{2}{3} \times 120 = 80\) km.
• Vận tốc đi trên quãng đường này: vẫn là vận tốc dự định \(v\) (km/h).
• Thời gian đi quãng đường này là: \(t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{80}{v}\) (giờ).

b) Thời gian nghỉ:

• Thời gian nghỉ là 12 phút. Chúng ta cần đổi sang đơn vị giờ:
• \(12 \text{ phút} = \frac{12}{60} \text{ giờ} = \frac{1}{5} \text{ giờ}\).
• Ký hiệu thời gian nghỉ là \(t_{nghỉ} = \frac{1}{5}\) (giờ).

c) Quãng đường còn lại:

• Quãng đường còn lại là: \(S_2 = S – S_1 = 120 – 80 = 40\) km.
• Vận tốc đi trên quãng đường này: người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h, nên vận tốc mới là \(v’ = v + 10\) (km/h).
• Thời gian đi quãng đường này là: \(t_2 = \frac{S_2}{v’} = \frac{40}{v+10}\) (giờ).

3. Tổng thời gian thực tế đi hết quãng đường AB:

Tổng thời gian thực tế bao gồm thời gian đi quãng đường đầu, thời gian nghỉ và thời gian đi quãng đường còn lại:

\(t_{thực tế} = t_1 + t_{nghỉ} + t_2\)

\(t_{thực tế} = \frac{80}{v} + \frac{1}{5} + \frac{40}{v+10}\) (giờ).

Bước 4: Lập phương trình

Theo đề bài, để đảm bảo đến B đúng thời gian dự định, tổng thời gian thực tế phải bằng thời gian dự định:

\(t_{thực tế} = t_{dự định}\)

\(\frac{80}{v} + \frac{1}{5} + \frac{40}{v+10} = \frac{120}{v}\)

Bước 5: Giải phương trình

Chúng ta sẽ giải phương trình vừa lập được:

\(\frac{80}{v} + \frac{1}{5} + \frac{40}{v+10} = \frac{120}{v}\)

Chuyển các hạng tử chứa \(v\) về một vế:

\(\frac{1}{5} + \frac{40}{v+10} = \frac{120}{v} – \frac{80}{v}\)

\(\frac{1}{5} + \frac{40}{v+10} = \frac{40}{v}\)

Để dễ giải hơn, chúng ta có thể chuyển \(\frac{40}{v+10}\) sang vế phải hoặc \(\frac{40}{v}\) sang vế trái:

\(\frac{1}{5} = \frac{40}{v} – \frac{40}{v+10}\)

\(\frac{1}{5} = 40 \left( \frac{1}{v} – \frac{1}{v+10} \right)\)

Quy đồng mẫu thức trong ngoặc:

\(\frac{1}{v} – \frac{1}{v+10} = \frac{(v+10) – v}{v(v+10)} = \frac{10}{v(v+10)}\)

Thay trở lại vào phương trình:

\(\frac{1}{5} = 40 \times \frac{10}{v(v+10)}\)

\(\frac{1}{5} = \frac{400}{v(v+10)}\)

Nhân chéo các số hạng:

\(v(v+10) = 5 \times 400\)

\(v^2 + 10v = 2000\)

\(v^2 + 10v – 2000 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử.

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = 10^2 – 4 \times 1 \times (-2000)\)

\(\Delta = 100 + 8000 = 8100\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{8100} = 90\)

Các nghiệm của phương trình là:

\(v_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 + 90}{2 \times 1} = \frac{80}{2} = 40\)

\(v_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-10 – 90}{2 \times 1} = \frac{-100}{2} = -50\)

Bước 6: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta đã đặt điều kiện \(v > 0\).

• Nghiệm \(v_1 = 40\) (thỏa mãn điều kiện \(v > 0\)).
• Nghiệm \(v_2 = -50\) (không thỏa mãn điều kiện \(v > 0\), vận tốc không thể âm).

Vậy, vận tốc dự định của người đi xe máy là 40 km/h.

Kiểm tra lại (không bắt buộc nhưng rất nên làm):

Nếu vận tốc dự định là 40 km/h:

• Thời gian dự định: \(\frac{120}{40} = 3\) giờ.
• Thời gian đi 80km đầu: \(\frac{80}{40} = 2\) giờ.
• Thời gian nghỉ: 12 phút = \(\frac{1}{5}\) giờ.
• Quãng đường còn lại 40km, vận tốc mới: \(40 + 10 = 50\) km/h.
• Thời gian đi 40km còn lại: \(\frac{40}{50} = \frac{4}{5}\) giờ.
• Tổng thời gian thực tế: \(2 + \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 2 + 1 = 3\) giờ.

Thời gian thực tế bằng thời gian dự định, vậy kết quả của chúng ta là chính xác.

Đáp số: Vận tốc dự định của người đi xe máy là 40 km/h.

Các em thấy không, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta bình tĩnh phân tích từng bước, đặt ẩn hợp lý và giải phương trình cẩn thận thì sẽ tìm ra đáp án đúng. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài này để thành thạo nhé!

Chúc các em học tốt!