Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay về số tự nhiên. Đây là dạng toán đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic và kết hợp các kiến thức đã học. Các em hãy theo dõi từng bước thầy/cô hướng dẫn nhé!

Bài toán: Hãy tìm số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số mà các chữ số khác nhau và bằng 37 lần tổng các chữ số của nó.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

Bước 1: Gọi số cần tìm và biểu diễn nó bằng các chữ số

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là \( \overline{abc} \).

Trong đó:

– \(a\) là chữ số hàng trăm. Vì là số có 3 chữ số nên \(a\) phải khác \(0\). Tức là \(a \in \{1, 2, 3, …, 9\}\).

– \(b\) là chữ số hàng chục. \(b \in \{0, 1, 2, …, 9\}\).

– \(c\) là chữ số hàng đơn vị. \(c \in \{0, 1, 2, …, 9\}\).

Số \( \overline{abc} \) có giá trị là \( 100a + 10b + c \).

Theo đề bài, các chữ số phải khác nhau, tức là \(a \neq b\), \(b \neq c\) và \(a \neq c\).

Tổng các chữ số của số đó là \( a + b + c \).

Bước 2: Lập phương trình theo điều kiện của bài toán

Theo đề bài, số tự nhiên đó bằng 37 lần tổng các chữ số của nó. Chúng ta có phương trình sau:

\( 100a + 10b + c = 37 \times (a + b + c) \)

Bước 3: Rút gọn phương trình

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân phá ngoặc và chuyển các số hạng sang một vế để phương trình đơn giản hơn:

\( 100a + 10b + c = 37a + 37b + 37c \)

Chuyển tất cả các số hạng có \(a\) về một vế, \(b\) về một vế và \(c\) về một vế:

\( 100a – 37a + 10b – 37b + c – 37c = 0 \)

\( 63a – 27b – 36c = 0 \)

Để phương trình đơn giản hơn nữa, chúng ta thấy tất cả các hệ số \(63, -27, -36\) đều chia hết cho \(9\). Chia cả hai vế của phương trình cho \(9\):

\( \frac{63a}{9} – \frac{27b}{9} – \frac{36c}{9} = \frac{0}{9} \)

\( 7a – 3b – 4c = 0 \)

Chúng ta có thể viết lại phương trình này thành: \( 7a = 3b + 4c \)

Bước 4: Sử dụng các điều kiện để tìm giá trị của \(a, b, c\)

Chúng ta cần tìm số tự nhiên lớn nhất, nên chúng ta sẽ ưu tiên chọn chữ số hàng trăm (\(a\)) lớn nhất có thể, sau đó đến chữ số hàng chục (\(b\)) lớn nhất có thể, và cuối cùng là chữ số hàng đơn vị (\(c\)) lớn nhất có thể.

Chúng ta biết rằng \(a, b, c\) là các chữ số từ \(0\) đến \(9\), và chúng phải khác nhau.

Từ phương trình \( 7a = 3b + 4c \):

Để \(a\) đạt giá trị lớn nhất, tổng \(3b + 4c\) cũng phải lớn nhất.

Giá trị lớn nhất của \(b\) là \(9\), và giá trị lớn nhất của \(c\) là \(8\) (vì các chữ số phải khác nhau).

Vậy, \( 3b + 4c \le 3(9) + 4(8) = 27 + 32 = 59 \).

Hoặc \( 3b + 4c \le 3(8) + 4(9) = 24 + 36 = 60 \).

Do đó, \( 7a \le 60 \).

Chia cho \(7\), ta có \( a \le \frac{60}{7} \approx 8.57 \). Vì \(a\) là chữ số, nên \(a\) có thể nhận các giá trị từ \(1\) đến \(8\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thử các giá trị của \(a\) từ lớn nhất xuống (\(a = 8, 7, 6, …\)) để tìm số lớn nhất:

Trường hợp 1: \(a = 8\)

Thay \(a = 8\) vào phương trình \( 7a = 3b + 4c \), ta có:

\( 7 \times 8 = 3b + 4c \)

\( 56 = 3b + 4c \)

Chúng ta cần tìm \(b, c\) là các chữ số khác nhau và khác \(8\). Để số \(\overline{8bc}\) là lớn nhất, chúng ta chọn \(b\) lớn nhất có thể.

Từ \(56 = 3b + 4c\), ta thấy \(4c = 56 – 3b\). Vì \(4c\) là số chẵn, nên \(56 – 3b\) cũng phải là số chẵn. Điều này có nghĩa là \(3b\) phải là số chẵn (vì \(56\) là chẵn). Vậy \(b\) phải là chữ số chẵn.

Các giá trị của \(b\) (khác \(8\), chẵn, và từ lớn nhất xuống) là: \(6, 4, 2, 0\).

• Thử \(b = 6\): (Lưu ý \(b \neq a\))
  
  \( 56 = 3(6) + 4c \)
  
  \( 56 = 18 + 4c \)
  
  \( 38 = 4c \)
  
  \( c = \frac{38}{4} = 9.5 \). Không phải là số nguyên, nên không thỏa mãn.
• Thử \(b = 4\):
  
  \( 56 = 3(4) + 4c \)
  
  \( 56 = 12 + 4c \)
  
  \( 44 = 4c \)
  
  \( c = 11 \). Không phải là chữ số (phải từ 0 đến 9), nên không thỏa mãn.

Với \(a=8\), không tìm được cặp chữ số \(b, c\) nào thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a = 7\)

Thay \(a = 7\) vào phương trình \( 7a = 3b + 4c \), ta có:

\( 7 \times 7 = 3b + 4c \)

\( 49 = 3b + 4c \)

Tương tự, \(4c = 49 – 3b\). Vì \(4c\) là số chẵn, \(49 – 3b\) phải là số chẵn. Vì \(49\) là số lẻ, nên \(3b\) phải là số lẻ. Vậy \(b\) phải là chữ số lẻ.

Các giá trị của \(b\) (khác \(7\), lẻ, và từ lớn nhất xuống) là: \(9, 5, 3, 1\).

• Thử \(b = 9\):
  
  \( 49 = 3(9) + 4c \)
  
  \( 49 = 27 + 4c \)
  
  \( 22 = 4c \)
  
  \( c = \frac{22}{4} = 5.5 \). Không thỏa mãn.
• Thử \(b = 5\): (Lưu ý \(b \neq a\) và \(b\) phải lẻ)
  
  \( 49 = 3(5) + 4c \)
  
  \( 49 = 15 + 4c \)
  
  \( 34 = 4c \)
  
  \( c = \frac{34}{4} = 8.5 \). Không thỏa mãn.

Với \(a=7\), không tìm được cặp chữ số \(b, c\) nào thỏa mãn.

Trường hợp 3: \(a = 6\)

Thay \(a = 6\) vào phương trình \( 7a = 3b + 4c \), ta có:

\( 7 \times 6 = 3b + 4c \)

\( 42 = 3b + 4c \)

Tương tự, \(4c = 42 – 3b\). Vì \(4c\) là số chẵn, \(42 – 3b\) phải là số chẵn. Vì \(42\) là số chẵn, nên \(3b\) phải là số chẵn. Vậy \(b\) phải là chữ số chẵn.

Các giá trị của \(b\) (khác \(6\), chẵn, và từ lớn nhất xuống) là: \(8, 4, 2, 0\).

• Thử \(b = 8\):
  
  \( 42 = 3(8) + 4c \)
  
  \( 42 = 24 + 4c \)
  
  \( 18 = 4c \)
  
  \( c = \frac{18}{4} = 4.5 \). Không thỏa mãn.
• Thử \(b = 4\):
  
  \( 42 = 3(4) + 4c \)
  
  \( 42 = 12 + 4c \)
  
  \( 30 = 4c \)
  
  \( c = \frac{30}{4} = 7.5 \). Không thỏa mãn.
• Thử \(b = 2\):
  
  \( 42 = 3(2) + 4c \)
  
  \( 42 = 6 + 4c \)
  
  \( 36 = 4c \)
  
  \( c = \frac{36}{4} = 9 \).
  Kiểm tra các điều kiện:
  
  – Chữ số \(a=6\), \(b=2\), \(c=9\). Các chữ số này đều khác nhau (\(6 \neq 2, 2 \neq 9, 6 \neq 9\)). Thỏa mãn!
  
  – \(a \neq 0\). \(6 \neq 0\). Thỏa mãn!
  
  Vậy, chúng ta tìm được số 629.

Kiểm tra lại số 629:

Tổng các chữ số: \(6 + 2 + 9 = 17\).

\(37 \times 17 = 629\). Chính xác!

Vì chúng ta đang tìm số tự nhiên lớn nhất và đã bắt đầu thử từ giá trị \(a\) lớn nhất (\(8\), rồi \(7\), rồi \(6\)), và trong mỗi trường hợp của \(a\), chúng ta lại thử giá trị \(b\) lớn nhất, nên số 629 là số lớn nhất mà chúng ta tìm được cho đến thời điểm này. Các số có chữ số hàng trăm nhỏ hơn (ví dụ \(a=5, 4, …\)) chắc chắn sẽ nhỏ hơn 629.

Bước 5: Kết luận

Số tự nhiên lớn nhất có 3 chữ số mà các chữ số khác nhau và bằng 37 lần tổng các chữ số của nó là \( \mathbf{629} \).

Thầy/cô mong rằng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các bài toán tương tự để củng cố kiến thức nhé!