Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. Hai đường chéo AC. BD cắt nhau tại O…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong tiết giải bài tập Hình học hôm nay. Đây là một bài toán rất hay, kết hợp giữa tính chất đối xứng tâm của hình bình hành và các dấu hiệu nhận biết hình thoi. Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết từng câu nhé.

PHẦN MỞ ĐẦU: PHÂN TÍCH NHANH

Trước khi trình bày lời giải chi tiết, các em cần nhớ lại các kiến thức trọng tâm sau đây:

• Tính chất hình bình hành: Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, điểm O chính là trung điểm của AC và BD.
• Tâm đối xứng: Giao điểm O của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD. Bất kỳ đường thẳng nào đi qua O khi cắt các cặp cạnh đối diện sẽ tạo ra các đoạn thẳng bằng nhau nhận O làm trung điểm.
• Dấu hiệu nhận biết hình thoi: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

CÂU A: CHỨNG MINH MNPQ LÀ HÌNH BÌNH HÀNH

Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành, chúng ta sẽ đi chứng minh hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (chính là điểm O).

• Bước 1: Xét tính chất đối xứng của đường thẳng m.
  Theo giả thiết, đường thẳng m đi qua O và cắt các cạnh đối AB và CD lần lượt tại M và P. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành có tâm O, nên cạnh AB song song với cạnh CD và hai điểm A, B đối xứng với hai điểm C, D qua tâm O. Do đó, hai tam giác chứa M và P sẽ đối xứng với nhau qua O, suy ra O là trung điểm của đoạn thẳng MP.
• Bước 2: Xét tính chất đối xứng của đường thẳng n.
  Tương tự như trên, đường thẳng n đi qua O và cắt hai cạnh đối BC và DA lần lượt tại N và Q. Vì BC song song với DA và nhận O làm tâm đối xứng, ta suy ra O cũng là trung điểm của đoạn thẳng NQ.
• Bước 3: Kết luận tứ giác MNPQ.
  Xét tứ giác MNPQ, ta có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Vậy MNPQ là hình bình hành.

CÂU B: CHỨNG MINH MNPQ LÀ HÌNH THOI

Để nâng cấp hình bình hành MNPQ thành hình thoi, chúng ta cần sử dụng thêm một giả thiết vuông góc rất quan trọng của đề bài.

• Bước 1: Sử dụng dữ kiện vuông góc.
  Theo giả thiết của đề bài, đường thẳng n vuông góc với đường thẳng m. Mà đường thẳng m chứa đoạn thẳng MP, còn đường thẳng n chứa đoạn thẳng NQ. Do đó, hai đường chéo MP và NQ của tứ giác MNPQ vuông góc với nhau tại O.
• Bước 2: Kết hợp với câu a.
  Ở câu a, chúng ta đã chứng minh được tứ giác MNPQ là hình bình hành.
• Bước 3: Kết luận.
  Một hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau thì hình bình hành đó chính là hình thoi. Vậy MNPQ là hình thoi (điều phải chứng minh).

LỜI KHUYÊN TỪ GIÁO VIÊN

Các em hãy vẽ hình thật cẩn thận vào vở, dùng thước và ê-ke để kiểm tra tính vuông góc. Khi trình bày bài tự luận trên lớp, các em nhớ ghi rõ các bước xét tam giác bằng nhau (tam giác AOM bằng tam giác CON, hoặc tam giác BOM bằng tam giác DOP) để bài làm thêm phần chặt chẽ và đạt điểm tối đa nhé. Chúc các em học tập thật tốt!