Chúng ta cùng nhau phân tích đề bài:

Bài III: (4,0 điểm)

Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sông đó mất 2 giờ 30 phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4 km rồi ngược dòng 8 km thì hết 1 giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước là không đổi, tính cận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước.

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng đã cho và yêu cầu của bài toán.

1. Phân tích đề bài và đặt ẩn:

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (km/h) và vận tốc riêng của dòng nước là \(y\) (km/h).

Theo quy tắc chuyển động trên sông:

• Vận tốc xuôi dòng của ca nô là: \(x + y\) (km/h)
• Vận tốc ngược dòng của ca nô là: \(x – y\) (km/h)

Điều kiện của bài toán là vận tốc riêng của ca nô phải lớn hơn vận tốc của dòng nước, tức là \(x > y > 0\).

2. Chuyển đổi đơn vị thời gian:

Chúng ta cần đổi các đơn vị thời gian về cùng một đơn vị, thường là giờ.

• 2 giờ 30 phút = \(2 + \frac{30}{60}\) giờ = \(2 + 0.5\) giờ = \(2.5\) giờ
• 1 giờ 20 phút = \(1 + \frac{20}{60}\) giờ = \(1 + \frac{1}{3}\) giờ = \(\frac{4}{3}\) giờ

3. Lập hệ phương trình:

Chúng ta sẽ sử dụng công thức: Quãng đường = Vận tốc x Thời gian, hay Thời gian = Quãng đường / Vận tốc.

Tình huống 1: Ca nô xuôi dòng 12km rồi ngược dòng 12km mất 2.5 giờ.

• Thời gian xuôi dòng 12km: \(\frac{12}{x+y}\) (giờ)
• Thời gian ngược dòng 12km: \(\frac{12}{x-y}\) (giờ)

Ta có phương trình thứ nhất:

\(\frac{12}{x+y} + \frac{12}{x-y} = 2.5\) (1)

Tình huống 2: Ca nô xuôi dòng 4km rồi ngược dòng 8km mất \(\frac{4}{3}\) giờ.

• Thời gian xuôi dòng 4km: \(\frac{4}{x+y}\) (giờ)
• Thời gian ngược dòng 8km: \(\frac{8}{x-y}\) (giờ)

Ta có phương trình thứ hai:

\(\frac{4}{x+y} + \frac{8}{x-y} = \frac{4}{3}\) (2)

4. Giải hệ phương trình:

Để giải hệ phương trình này một cách thuận tiện, chúng ta có thể đặt ẩn phụ.

Đặt \(a = \frac{1}{x+y}\) và \(b = \frac{1}{x-y}\). Điều kiện: \(a > 0\) và \(b > 0\).

Hệ phương trình trở thành:

\(12a + 12b = 2.5\) (1′)

\(4a + 8b = \frac{4}{3}\) (2′)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Từ phương trình (1′), ta rút gọn:

\(12(a+b) = 2.5 \implies a+b = \frac{2.5}{12} = \frac{25}{120} = \frac{5}{24}\)

Từ phương trình (2′), ta rút gọn:

\(4(a + 2b) = \frac{4}{3} \implies a + 2b = \frac{1}{3}\)

Bây giờ, ta có hệ mới:

\(a + b = \frac{5}{24}\) (3)

\(a + 2b = \frac{1}{3}\) (4)

Lấy phương trình (4) trừ phương trình (3), ta được:

\((a + 2b) – (a + b) = \frac{1}{3} – \frac{5}{24}\)

\(b = \frac{8}{24} – \frac{5}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)

Thế giá trị của \(b\) vào phương trình (3):

\(a + \frac{1}{8} = \frac{5}{24}\)

\(a = \frac{5}{24} – \frac{1}{8} = \frac{5}{24} – \frac{3}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}\)

5. Tìm lại các ẩn ban đầu:

Ta có:

• \(a = \frac{1}{x+y} = \frac{1}{12} \implies x+y = 12\) (5)
• \(b = \frac{1}{x-y} = \frac{1}{8} \implies x-y = 8\) (6)

Bây giờ, ta giải hệ phương trình tuyến tính với \(x\) và \(y\):

\(x + y = 12\) (5)

\(x – y = 8\) (6)

Cộng phương trình (5) và (6) theo vế:

\((x+y) + (x-y) = 12 + 8\)

\(2x = 20 \implies x = 10\)

Thế giá trị của \(x\) vào phương trình (5):

\(10 + y = 12 \implies y = 2\)

6. Kiểm tra điều kiện và kết luận:

Chúng ta có \(x=10\) km/h và \(y=2\) km/h. Điều kiện \(x > y > 0\) (tức là \(10 > 2 > 0\)) được thỏa mãn.

Vậy, vận tốc riêng của ca nô là 10 km/h và vận tốc riêng của dòng nước là 2 km/h.

Đáp số:

Vận tốc riêng của ca nô: 10 km/h.

Vận tốc riêng của dòng nước: 2 km/h.

Các em thân mến, qua bài toán này, chúng ta đã ôn lại cách thiết lập phương trình dựa trên các mối quan hệ về vận tốc, quãng đường, thời gian, đặc biệt là khi có yếu tố dòng nước. Việc đặt ẩn phụ và giải hệ phương trình là những kỹ năng quan trọng cần nắm vững. Hãy xem lại các bước giải và cố gắng tự mình giải lại bài toán này để hiểu sâu hơn nhé!