Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải một bài tập trắc nghiệm Đúng/Sai về dao động điều hoà. Đây là một dạng bài tập rất hay giúp chúng ta củng cố kiến thức về các đại lượng đặc trưng của dao động.

Đề bài: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình vận tốc là \(v=4\pi\cos(2\pi t)\) (cm/s). Gốc toạ độ ở VTCB.

Hãy xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

1. Biên độ dao động của vật bằng \(4\pi\)(cm)
2. Gia tốc cực đại của chất điểm bằng \(8\pi^2\) (cm/s²)
3. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ \(x=0\)
4. Tại thời điểm \(t=2s\) chất điểm có li độ \(4\pi\)(cm/s)

Để giải bài này, chúng ta cần nhớ lại các công thức cơ bản của dao động điều hoà và cách xác định các đại lượng từ phương trình cho trước.

Phân tích phương trình vận tốc:

Phương trình vận tốc tổng quát của dao động điều hoà có dạng: \(v = -\omega A \sin(\omega t + \phi)\) hoặc \(v = v_{max} \cos(\omega t + \phi_v)\).

Từ phương trình đề bài cho: \(v=4\pi\cos(2\pi t)\) (cm/s), ta có thể suy ra các thông số sau:

• Vận tốc cực đại: \(v_{max} = 4\pi\) (cm/s)
• Tần số góc: \(\omega = 2\pi\) (rad/s)
• Pha ban đầu của vận tốc: \(\phi_v = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ xét từng phát biểu một:

a. Biên độ dao động của vật bằng \(4\pi\)(cm)

Ta biết rằng vận tốc cực đại \(v_{max}\) liên hệ với biên độ \(A\) và tần số góc \(\omega\) theo công thức: \(v_{max} = \omega A\).

Từ các thông số đã xác định:

• \(v_{max} = 4\pi\) (cm/s)
• \(\omega = 2\pi\) (rad/s)

Thay vào công thức, ta có:

\(4\pi = (2\pi) \times A\)

\(A = \frac{4\pi}{2\pi} = 2\) (cm)

Vậy, biên độ dao động của vật là \(2\) cm, không phải \(4\pi\) cm.

Kết luận: Phát biểu a là SAI.

b. Gia tốc cực đại của chất điểm bằng \(8\pi^2\) (cm/s²)

Gia tốc cực đại \(a_{max}\) được tính bằng công thức: \(a_{max} = \omega^2 A\).

Chúng ta đã có:

• \(\omega = 2\pi\) (rad/s)
• \(A = 2\) (cm)

Thay các giá trị vào công thức:

\(a_{max} = (2\pi)^2 \times 2\)

\(a_{max} = 4\pi^2 \times 2\)

\(a_{max} = 8\pi^2\) (cm/s²)

Kết luận: Phát biểu b là ĐÚNG.

c. Mốc thời gian được chọn vào lúc chất điểm có li độ \(x=0\)

Chúng ta có phương trình vận tốc là \(v=4\pi\cos(2\pi t)\). Tại thời điểm \(t=0\), vận tốc của vật là:

\(v(0) = 4\pi\cos(2\pi \times 0) = 4\pi\cos(0) = 4\pi\) (cm/s)

Đây chính là giá trị vận tốc cực đại \(v_{max}\). Trong dao động điều hoà, vật đạt vận tốc cực đại khi đi qua vị trí cân bằng (VTCB).

Do \(v(0) = v_{max} > 0\), điều này có nghĩa là tại \(t=0\), vật đang ở VTCB (\(x=0\)) và đang chuyển động theo chiều dương của trục tọa độ.

Để chắc chắn hơn, chúng ta có thể viết phương trình li độ \(x\). Từ phương trình vận tốc \(v = A\omega \cos(\omega t + \phi_v)\), chúng ta có pha ban đầu của vận tốc là \(\phi_v = 0\).

Pha ban đầu của li độ \(\phi\) liên hệ với pha ban đầu của vận tốc \(\phi_v\) theo công thức: \(\phi = \phi_v – \frac{\pi}{2}\) (vì \(v\) sớm pha hơn \(x\) một góc \(\frac{\pi}{2}\)).

Vậy, \(\phi = 0 – \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}\).

Phương trình li độ của vật là: \(x = A \cos(\omega t + \phi) = 2 \cos(2\pi t – \frac{\pi}{2})\) (cm).

Tại thời điểm \(t=0\):

\(x(0) = 2 \cos(2\pi \times 0 – \frac{\pi}{2}) = 2 \cos(-\frac{\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0\) (cm).

Điều này khẳng định tại thời điểm \(t=0\), chất điểm đang ở vị trí có li độ \(x=0\).

Kết luận: Phát biểu c là ĐÚNG.

d. Tại thời điểm \(t=2s\) chất điểm có li độ \(4\pi\)(cm/s)

Phát biểu này có một lỗi rất cơ bản về đơn vị. Li độ \(x\) phải có đơn vị là cm (hoặc m, mm…), trong khi đề bài lại ghi đơn vị là cm/s, đây là đơn vị của vận tốc.

Ngay cả khi bỏ qua lỗi đơn vị và giả sử câu hỏi muốn hỏi về vận tốc, chúng ta cũng cần kiểm tra giá trị:

• Nếu là vận tốc: \(v(2) = 4\pi \cos(2\pi \times 2) = 4\pi \cos(4\pi) = 4\pi \times 1 = 4\pi\) (cm/s). Trong trường hợp này, giá trị \(4\pi\) là đúng, nhưng câu hỏi lại nói là “li độ”.
• Nếu là li độ: Chúng ta đã có phương trình li độ \(x = 2 \cos(2\pi t – \frac{\pi}{2})\).

Tại thời điểm \(t=2s\), li độ của chất điểm là:

\(x(2) = 2 \cos(2\pi \times 2 – \frac{\pi}{2}) = 2 \cos(4\pi – \frac{\pi}{2})\)

Vì hàm cosin có chu kỳ \(2\pi\), nên \( \cos(4\pi – \frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) \).

\(x(2) = 2 \times \cos(-\frac{\pi}{2}) = 2 \times 0 = 0\) (cm).

Vậy, tại \(t=2s\), chất điểm có li độ bằng 0 cm. Giá trị \(4\pi\) cm/s là hoàn toàn sai, cả về giá trị lẫn đơn vị cho li độ.

Kết luận: Phát biểu d là SAI.

Tóm tắt kết quả:

• a. SAI
• b. ĐÚNG
• c. ĐÚNG
• d. SAI

Các em thấy đấy, việc nắm vững các công thức cơ bản và cách phân tích phương trình là rất quan trọng để giải quyết các bài tập Vật lý. Đừng quên chú ý đến đơn vị của các đại lượng nhé!

Chúc các em học tốt!