Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tốc độ “ăn cơm” của bạn An nhé. Bài toán này sẽ giúp chúng ta củng cố kiến thức về dãy số và cấp số cộng.

Đề bài:

Bạn An được ăn cơm ngay trong meet discord

bạn được ăn 1 cân cơm vào 2 phút đầu

2 cân cơm vào 2 phút sau đó

cứ thế mỗi 2 phút lại được thêm \(x+1\) cân cơm

hỏi sau \(1\) tiếng bạn ăn được bao cân cơm.

Phân tích và giải bài toán:

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích các thông tin đã cho một cách cẩn thận:

1. Tổng thời gian ăn: Bạn An ăn trong \(1\) tiếng.

   Chúng ta cần đổi đơn vị thời gian sang phút: \(1\) tiếng \(=\) \(60\) phút.

2. Khoảng thời gian mỗi lượt ăn: Mỗi lần ăn được tính trong \(2\) phút.

   Số lượt ăn (số khoảng thời gian \(2\) phút) trong \(60\) phút là: \(60 \div 2 = 30\) lượt.

   Vậy, bạn An sẽ ăn tổng cộng \(30\) lượt, mỗi lượt kéo dài \(2\) phút.

3. Lượng cơm ăn được trong mỗi lượt:

   • Lượt 1 (trong 2 phút đầu tiên): \(1\) kg cơm.

   • Lượt 2 (trong 2 phút tiếp theo): \(2\) kg cơm.

   • Từ lượt 3 trở đi: Cứ mỗi 2 phút, lượng cơm ăn được sẽ “thêm” \(x+1\) cân cơm so với lượt ăn ngay trước đó.

Bây giờ, chúng ta hãy viết ra lượng cơm bạn An ăn được trong từng lượt (ký hiệu \(A_k\) là lượng cơm ăn được trong lượt thứ \(k\)):

• Lượt thứ nhất (\(A_1\)): \(1\) kg.

• Lượt thứ hai (\(A_2\)): \(2\) kg.

• Lượt thứ ba (\(A_3\)): Lượng cơm của lượt 2 cộng thêm \(x+1\). Tức là \(A_3 = A_2 + (x+1) = 2 + (x+1)\) kg.

• Lượt thứ tư (\(A_4\)): Lượng cơm của lượt 3 cộng thêm \(x+1\). Tức là \(A_4 = A_3 + (x+1) = (2 + (x+1)) + (x+1) = 2 + 2(x+1)\) kg.

Từ đây, chúng ta có thể nhận thấy rằng, từ lượt thứ hai trở đi (\(A_2, A_3, A_4, \dots, A_{30}\)), lượng cơm ăn được trong mỗi lượt tạo thành một cấp số cộng.

Xác định cấp số cộng:

Chúng ta sẽ xét dãy số lượng cơm từ lượt thứ 2 đến lượt thứ 30:

• Số hạng đầu của cấp số cộng này (chính là \(A_2\)): \(a_1′ = 2\).

• Công sai của cấp số cộng: \(d = x+1\).

• Số lượng số hạng trong cấp số cộng này: Từ lượt thứ 2 đến lượt thứ 30 có \(30 – 2 + 1 = 29\) số hạng.

Công thức tính số hạng thứ \(n\) của một cấp số cộng là \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Áp dụng công thức này để tìm lượng cơm ở lượt thứ \(k\) (với \(k \ge 2\)): \(A_k = A_2 + (k-2)d = 2 + (k-2)(x+1)\).

Vậy, lượng cơm ăn được ở lượt cuối cùng (lượt thứ 30) là:

\(A_{30} = 2 + (30-2)(x+1) = 2 + 28(x+1)\) kg.

Tính tổng số cơm ăn được:

Tổng số cơm An ăn được sau 1 tiếng là tổng của tất cả 30 lượt:

\(S = A_1 + A_2 + A_3 + \dots + A_{30}\).

Chúng ta đã biết \(A_1 = 1\) kg. Bây giờ, chúng ta cần tính tổng của cấp số cộng từ \(A_2\) đến \(A_{30}\).

Công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu của một cấp số cộng là \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\).

Trong trường hợp này, \(n = 29\) (số lượt từ 2 đến 30).

Tổng cơm từ lượt 2 đến lượt 30 (ký hiệu là \(S’\)):

\(S’ = \frac{29}{2} (A_2 + A_{30})\)

\(S’ = \frac{29}{2} (2 + (2 + 28(x+1)))\)

\(S’ = \frac{29}{2} (4 + 28x + 28)\)

\(S’ = \frac{29}{2} (32 + 28x)\)

Để đơn giản hóa, ta chia \(32\) và \(28x\) cho \(2\):

\(S’ = 29 \times (16 + 14x)\)

Thực hiện phép nhân:

\(S’ = 29 \times 16 + 29 \times 14x\)

\(S’ = 464 + 406x\)

Cuối cùng, tổng số cơm An ăn được sau 1 tiếng là tổng của \(A_1\) và \(S’\):

\(S = A_1 + S’\)

\(S = 1 + (464 + 406x)\)

\(S = 465 + 406x\)

Kết luận:

Vậy, sau \(1\) tiếng, bạn An ăn được tổng cộng \((465 + 406x)\) cân cơm.

Các em nhớ xem lại các bước giải, đặc biệt là cách xác định cấp số cộng và công sai để áp dụng vào các bài toán tương tự nhé. Chúc các em học tốt!