Bạn Lan làm 50 chiếc hộp đựng quà giống nhau để đựng quà tặng cho các…
Chào em, đây là một bài toán thực tế rất hay thuộc chương trình Toán lớp 9, kết hợp giữa kiến thức về hình học không gian (thể tích hình hộp chữ nhật) và hàm số bậc hai để tìm giá trị nhỏ nhất. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước nhé.
Bước 1: Biểu diễn các kích thước của đáy hộp theo ẩn x
- Gọi chiều rộng của đáy hộp hình chữ nhật là x (cm), với điều kiện x > 0.
- Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài của đáy hộp là 2x (cm).
Bước 2: Tính chiều cao của chiếc hộp
- Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: x nhân với 2x bằng 2 nhân x bình phương (cm vuông).
- Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Theo đề bài, thể tích bằng 576 cm khối.
- Do đó, chiều cao của hộp là: 576 chia cho (2 nhân x bình phương), rút gọn bằng 288 chia cho x bình phương (cm).
Bước 3: Tính diện tích toàn phần của một chiếc hộp
- Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai mặt đáy.
- Diện tích hai mặt đáy là: 2 nhân (2 nhân x bình phương) bằng 4 nhân x bình phương (cm vuông).
- Chu vi đáy là: (x cộng 2 nhân x) nhân 2 bằng 6x (cm).
- Diện tích xung quanh là: Chu vi đáy nhân chiều cao, tức là 6x nhân với (288 chia cho x bình phương), rút gọn bằng 1728 chia cho x (cm vuông).
- Vậy diện tích toàn phần của một chiếc hộp là: S bằng 4 nhân x bình phương cộng với 1728 chia cho x (cm vuông).
Bước 4: Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm diện tích toàn phần nhỏ nhất
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S, ta tách hạng tử 1728 chia cho x thành hai phần bằng nhau là 864 chia cho x và 864 chia cho x.
- Biểu thức diện tích trở thành: S bằng 4 nhân x bình phương cộng (864 chia cho x) cộng (864 chia cho x).
- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có tích của ba số này là: 4 nhân x bình phương nhân (864 chia cho x) nhân (864 chia cho x), rút gọn x bình phương ở tử và mẫu, kết quả bằng 4 nhân 864 nhân 864, khai căn bậc ba lên sẽ được một hằng số.
- Cụ thể hơn theo phương pháp lớp 9, ta có thể khảo sát hàm số hoặc nhẩm điểm rơi: khi 4 nhân x bình phương bằng 864 chia cho x, ta tìm được x mũ 3 bằng 216, suy ra x bằng 6 (cm).
- Thay x bằng 6 vào biểu thức S, ta tính được diện tích toàn phần nhỏ nhất của một chiếc hộp là: S nhỏ nhất bằng 4 nhân 36 cộng với 1728 chia cho 6 bằng 144 cộng 288 bằng 432 (cm vuông).
Bước 5: Tính chi phí thấp nhất để làm 50 chiếc hộp
- Đổi đơn vị diện tích từ xăng-ti-mét vuông sang mét vuông để phù hợp với đơn giá của giấy: 432 cm vuông bằng 0,0432 mét vuông.
- Tổng diện tích giấy để làm 50 chiếc hộp là: 0,0432 nhân với 50 bằng 2,16 (mét vuông).
- Chi phí thấp nhất để làm 50 chiếc hộp là: 2,16 nhân với 100 nghìn đồng bằng 216 nghìn đồng.
Kết luận: Chi phí thấp nhất để bạn Lan làm 50 chiếc hộp đựng quà là 216 nghìn đồng. Chúc em học tốt và áp dụng thành thạo dạng toán tối ưu hóa này vào các bài kiểm tra nhé!
Đáp án \(+\) Giải thích các bước giải :
Gọi chiều cao của hình hộp chữ nhật là \(h\)
Ta có : \(x.2x.h=576\)\((cm^3)\)
\(2hx^2=576\)
\(h=288/x^2\)
Lại có : Diện tích toàn phần của \(1\) chiếc hộp là :
\(S=2(x.2x)+2(x.h)+2(2x.h)\)
\(=2(2x^2+2xh+xh)\)
\(=4x^2+6xh\)
Thay \(h=288/x^2\) vào \(S\) ta có :
\(S=4x^2+6x.\)\(288/x^2\)
\(=4x^2+1728/x\)
\(=4x^2+864/x+864/x\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho \(3\) số dương \(4x^2;864/x;864/x\) ta có :
\(4x^2+864/x+864/x>=3\)\(\sqrt[3]{4x^2.\dfrac{864}{x}.\dfrac{864}{x}}\)
\(S>=3\)\(\sqrt[3]{4.864.864}\)
\(S>=432\)\((cm^2)\)
Hay diện tích nhỏ nhất là \(432cm^2\)
Dấu “\(=\)” xảy ra khi \(4x^2=864/x\)
\(4x^3=864\)
\(x^3=216\)
\(x=6(cm)\)
\(h=288/36\)
\(h=8(cm)\)
Diện tích nhỏ nhất để làm \(50\) chiếc hộp là:
\(432xx50=21600(cm^2)=2,16(m^2)\)
Chi phí thấp nhất để bạn Lan làm là :
\(2,16xx100=216(\)nghìn đồng\()\)
Vậy chi phí thấp nhất để bạn Lan làm \(50\) chiếc hộp là \(216\) nghìn đồng tại \(x=6\) và \(h=8\)
Gọi chiều rộng hộp đựng quà là \(x (cm) (x>0) \)
Chiều dài gấp đôi chiều rộng nên chiều dài hộp quà là \(2x (cm) \)
Gọi chiều cao hộp đựng quà là \(h (cm) (h>0) \)
Thể tích hộp quà là \(576cm^3\) nên ta có phương trình:
\(2x.x.h=576 => h=576/(2x.x) =288/(x^2) (cm) \)
Diện tích toàn phần của hộp đựng quà là:
\(S_(tp) =S_(xq) +S_(đáy) \)
\(S_(tp) =(x+2x). 2.h+2.(2x.x) \)
\(S_(tp) = 6x. 288/(x^2) +4x^2\)
\(S_(tp) =1728/x +4x^2 (cm^2) \)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy \(3\) số ta có:
\(1728/x +4x^2 =4x^2+864/x+864/x >= 3\root{3}{4x^2. 864/x . 864/x}=432 (cm^2) \)
Dấu “=” xảy ra khi \(4x^2 =864/x\)
hay \(x=6\)
Diện tích giấy để làm \(50\) chiếc hộp là: \(50.432=21600 (cm^2) =2,16 (m^2) \)
Chi phí tối thiểu làm \(50\) chiếc hộp là: \(2,16.100000=216000 \) (đồng)
Vậy chi phí tối thiểu làm \(50\) chiếc hộp đựng quà là \(216000\) đồng
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment