Bài toán: Ban tổ chức chương trình nghệ thuật quốc gia “80 năm hành trình độc lập – tự do – hạnh phúc” thuê 2 đội kỹ thuật (đội I và đội II) cùng lắp đặt âm thanh và ánh sáng. Nếu cả hai đội cùng làm thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành công việc. Thực tế, đội I làm trong 4 giờ rồi nghỉ, thì đội II phải làm trong 12 giờ để hoàn thành công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc?

Phân tích bài toán:

Đây là bài toán về năng suất làm việc. Chúng ta cần xác định năng suất của mỗi đội và từ đó tính thời gian hoàn thành công việc khi mỗi đội làm một mình.

Đặt ẩn và lập phương trình:

Gọi x là thời gian (tính bằng giờ) để đội I làm một mình xong công việc.

Gọi y là thời gian (tính bằng giờ) để đội II làm một mình xong công việc.

Khi đó:

• Năng suất của đội I là: \( \frac{1}{x} \) (công việc/giờ)
• Năng suất của đội II là: \( \frac{1}{y} \) (công việc/giờ)

Từ giả thiết của bài toán, chúng ta có các phương trình sau:

Trường hợp 1: Cả hai đội cùng làm

Nếu cả hai đội cùng làm thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành công việc. Điều này có nghĩa là tổng năng suất của hai đội nhân với thời gian làm việc sẽ bằng 1 công việc.

Ta có phương trình: \( 6 \times \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \)

Chia cả hai vế cho 6, ta được: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \) (1)

Trường hợp 2: Thực tế làm việc

Đội I làm trong 4 giờ, sau đó nghỉ. Năng suất của đội I trong 4 giờ là: \( 4 \times \frac{1}{x} \).

Đội II làm tiếp trong 12 giờ để hoàn thành công việc. Năng suất của đội II trong 12 giờ là: \( 12 \times \frac{1}{y} \).

Tổng khối lượng công việc mà hai đội đã làm sẽ bằng 1 công việc.

Ta có phương trình: \( \frac{4}{x} + \frac{12}{y} = 1 \) (2)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta có hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \quad (1) \\
\frac{4}{x} + \frac{12}{y} = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ. Đặt \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \). (Với điều kiện \( x > 0, y > 0 \), suy ra \( a > 0, b > 0 \)).

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
a + b = \frac{1}{6} \quad (1′) \\
4a + 12b = 1 \quad (2′)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1′), ta rút ra \( a = \frac{1}{6} – b \).

Thế biểu thức của a vào phương trình (2′):

\( 4 \left( \frac{1}{6} – b \right) + 12b = 1 \)

\( \frac{4}{6} – 4b + 12b = 1 \)

\( \frac{2}{3} + 8b = 1 \)

\( 8b = 1 – \frac{2}{3} \)

\( 8b = \frac{1}{3} \)

\( b = \frac{1}{3 \times 8} \)

\( b = \frac{1}{24} \)

Bây giờ, chúng ta tìm giá trị của a:

\( a = \frac{1}{6} – b = \frac{1}{6} – \frac{1}{24} \)

\( a = \frac{4}{24} – \frac{1}{24} \)

\( a = \frac{3}{24} \)

\( a = \frac{1}{8} \)

Tìm lại x và y:

Ta có \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \).

Với \( a = \frac{1}{8} \), ta có \( \frac{1}{x} = \frac{1}{8} \), suy ra \( x = 8 \).

Với \( b = \frac{1}{24} \), ta có \( \frac{1}{y} = \frac{1}{24} \), suy ra \( y = 24 \).

Kết luận:

Vậy, nếu đội I làm một mình thì sẽ hoàn thành công việc trong 8 giờ.

Nếu đội II làm một mình thì sẽ hoàn thành công việc trong 24 giờ.

Kiểm tra lại:

Trường hợp 1: Cả hai đội làm trong 6 giờ.

Năng suất: \( \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6} \).

Thời gian: \( 6 \times \frac{1}{6} = 1 \) (hoàn thành công việc). Đúng.

Trường hợp 2: Đội I làm 4 giờ, đội II làm 12 giờ.

Công việc đội I làm: \( 4 \times \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).

Công việc đội II làm: \( 12 \times \frac{1}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \).

Tổng công việc: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \) (hoàn thành công việc). Đúng.

Các em thấy bài toán này có thú vị không nào? Quan trọng là chúng ta cần xác định đúng năng suất của mỗi đội và lập phương trình chính xác. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!