Bài 1: CMR với mọi \(n\in\mathbb{N}\) thì \(n^3-n\vdots6\)

Để chứng minh \(n^3-n\) chia hết cho 6, ta cần chứng minh nó chia hết cho cả 2 và 3 (vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau).

Ta có: \(n^3-n = n(n^2-1) = n(n-1)(n+1)\).

Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp. Trong ba số nguyên liên tiếp bất kỳ, luôn có ít nhất một số chia hết cho 2 và có đúng một số chia hết cho 3. Do đó, tích của ba số này luôn chia hết cho \(2 \times 3 = 6\).

Chứng minh chia hết cho 2:

• Nếu \(n\) là số chẵn, thì \(n\) chia hết cho 2.
• Nếu \(n\) là số lẻ, thì \(n-1\) và \(n+1\) là hai số chẵn liên tiếp, nên có ít nhất một số chia hết cho 2.

Vậy, \(n(n-1)(n+1)\) luôn chia hết cho 2.

Chứng minh chia hết cho 3:

• Nếu \(n\) chia hết cho 3, thì \(n(n-1)(n+1)\) chia hết cho 3.
• Nếu \(n\) chia cho 3 dư 1, thì \(n-1\) chia hết cho 3.
• Nếu \(n\) chia cho 3 dư 2, thì \(n+1\) chia hết cho 3.

Vậy, \(n(n-1)(n+1)\) luôn chia hết cho 3.

Vì \(n^3-n\) chia hết cho cả 2 và 3, nên \(n^3-n\) chia hết cho 6.

Ta có điều phải chứng minh.

Bài 2: Cho \(x+y=7;xy=10\). Không tìm \(x;y\), hãy tính:

a) \(x^2+y^2\)

Ta biết công thức \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \).

Từ đó, ta có \( x^2+y^2 = (x+y)^2 – 2xy \).

Thay giá trị đã cho vào công thức:

\( x^2+y^2 = (7)^2 – 2(10) = 49 – 20 = 29 \).

Vậy, \(x^2+y^2 = 29\).

b) \(x^3+y^3\)

Ta biết công thức \( (x+y)^3 = x^3+3x^2y+3xy^2+y^3 = x^3+y^3+3xy(x+y) \).

Từ đó, ta có \( x^3+y^3 = (x+y)^3 – 3xy(x+y) \).

Thay giá trị đã cho vào công thức:

\( x^3+y^3 = (7)^3 – 3(10)(7) = 343 – 210 = 133 \).

Vậy, \(x^3+y^3 = 133\).

Bài 3: Cho \(a;b;c>0\) và \(a+b+c=6\). CMR ít nhất một trong ba số \(a;b;c\) không nhỏ hơn \(2\).

Ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử điều ngược lại là đúng, tức là cả ba số \(a, b, c\) đều nhỏ hơn 2.

Khi đó, ta có:

• \(a < 2\)
• \(b < 2\)
• \(c < 2\)

Cộng ba bất đẳng thức này lại, ta được:

\(a + b + c < 2 + 2 + 2 = 6\).

Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là \(a+b+c=6\).

Vậy, giả sử ban đầu là sai. Do đó, ít nhất một trong ba số \(a;b;c\) không nhỏ hơn 2.

Ta có điều phải chứng minh.

Bài 4: Cho \(x;y\) thỏa mãn \(x+y=4\). Tìm GTNN của \(x^2+y^2\).

Ta có \(x+y=4\). Suy ra \(y = 4-x\).

Thay \(y\) vào biểu thức \(x^2+y^2\):

\(x^2+y^2 = x^2 + (4-x)^2 = x^2 + (16 – 8x + x^2) = 2x^2 – 8x + 16\).

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f(x) = 2x^2 – 8x + 16\).

Đây là một tam thức bậc hai có hệ số của \(x^2\) là \(2 > 0\), nên đồ thị là một parabol quay bề lõm lên trên. Giá trị nhỏ nhất đạt được tại đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh là \(x = \frac{-(-8)}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2\).

Khi \(x=2\), ta có \(y = 4-x = 4-2 = 2\).

Giá trị nhỏ nhất của \(x^2+y^2\) là \(2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8\).

Hoặc thay \(x=2\) vào biểu thức \(2x^2 – 8x + 16\):

\(2(2)^2 – 8(2) + 16 = 2(4) – 16 + 16 = 8\).

Vậy, GTNN của \(x^2+y^2\) là 8.

Cách khác sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Ta có \((x^2+y^2)(1^2+1^2) \geq (x \cdot 1 + y \cdot 1)^2\).

\((x^2+y^2)(2) \geq (x+y)^2\).

\(2(x^2+y^2) \geq 4^2 = 16\).

\(x^2+y^2 \geq \frac{16}{2} = 8\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{x}{1} = \frac{y}{1}\), tức là \(x=y\). Mà \(x+y=4\), nên \(x=y=2\).

Vậy, GTNN của \(x^2+y^2\) là 8.

Bài 5: Cho \(a;b\) là hai số nguyên dương và \(ab=2026\). CMR: \(a+b\geq91\).

Ta có \(ab = 2026\). Ta cần phân tích số 2026 thành các thừa số nguyên tố để tìm các cặp \(a,b\) có thể.

2026 chia hết cho 2: \(2026 = 2 \times 1013\).

Ta cần kiểm tra xem 1013 có phải là số nguyên tố không. Ta thử chia 1013 cho các số nguyên tố nhỏ hơn \(\sqrt{1013} \approx 31.8\). Các số nguyên tố cần kiểm tra là 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

• 1013 không chia hết cho 3 (tổng các chữ số là 5).
• 1013 không chia hết cho 5.
• 1013 chia 7 dư 5.
• 1013 chia 11 dư 1.
• 1013 chia 13 dư 12.
• 1013 chia 17 dư 16.
• 1013 chia 19 dư 16.
• 1013 chia 23 dư 14.
• 1013 chia 29 dư 7.
• 1013 chia 31 dư 10.

Như vậy, 1013 là một số nguyên tố.

Các cặp số nguyên dương \(a,b\) thỏa mãn \(ab=2026\) là:

• \(a=1, b=2026\) (hoặc ngược lại)
• \(a=2, b=1013\) (hoặc ngược lại)

Bây giờ ta xét tổng \(a+b\) cho từng cặp:

• Nếu \(a=1, b=2026\), thì \(a+b = 1 + 2026 = 2027\).
• Nếu \(a=2, b=1013\), thì \(a+b = 2 + 1013 = 1015\).

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy \(a+b\) lớn hơn hoặc bằng 91.

Cách khác sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

Đối với hai số thực không âm \(a,b\), ta có bất đẳng thức AM-GM: \(\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\).

Suy ra \(a+b \geq 2\sqrt{ab}\).

Thay \(ab=2026\) vào bất đẳng thức:

\(a+b \geq 2\sqrt{2026}\).

Ta cần tính giá trị của \(\sqrt{2026}\). Ta biết \(40^2 = 1600\) và \(50^2 = 2500\). \(\sqrt{2026}\) nằm giữa 40 và 50.

Ta thử gần hơn: \(45^2 = 2025\).

Vậy, \(\sqrt{2026} > \sqrt{2025} = 45\).

Do đó, \(a+b \geq 2\sqrt{2026} > 2 \times 45 = 90\).

Vì \(a,b\) là các số nguyên dương, nên \(a+b\) phải là một số nguyên. Vì \(a+b > 90\) và \(a+b\) là số nguyên, nên \(a+b \geq 91\).

Ta có điều phải chứng minh.

Các em thấy không, mỗi bài toán đều có cách giải riêng và đôi khi có nhiều cách tiếp cận khác nhau. Quan trọng là chúng ta hiểu bản chất của vấn đề và áp dụng đúng công thức, định lý.

Thầy hy vọng qua bài giảng này, các em đã củng cố thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải các bài toán tương tự.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!