Biêt 1 + 2 + 3 + … + n = 210, tính 1^3 + 2^3 + … + n^3 = ?
Chào các em học sinh yêu quý,
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến tổng các số tự nhiên và tổng các lập phương. Đây là dạng bài rất hay giúp chúng ta ôn lại các công thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Đề bài: Biêt \(1 + 2 + 3 + … + n = 210\), tính \(1^3 + 2^3 + … + n^3 = ?\)
Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này theo từng bước một nhé!
Bước 1: Tìm giá trị của n
Đầu tiên, chúng ta cần tìm giá trị của \(n\) từ thông tin đầu tiên mà đề bài cung cấp: tổng của \(n\) số tự nhiên đầu tiên bằng 210.
Chúng ta biết rằng tổng của \(n\) số tự nhiên đầu tiên (từ 1 đến \(n\)) được cho bởi công thức:
\( S_n = 1 + 2 + 3 + … + n = \frac{n(n+1)}{2} \)
Theo đề bài, chúng ta có tổng này bằng 210. Vậy, chúng ta sẽ thiết lập một phương trình để tìm \(n\):
\( \frac{n(n+1)}{2} = 210 \)
Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(n\):
Nhân cả hai vế của phương trình với 2:
\( n(n+1) = 210 \times 2 \)
\( n(n+1) = 420 \)
Đây là phương trình tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 420. Chúng ta có thể nhẩm hoặc biến đổi về phương trình bậc hai.
Cách 1: Nhẩm nghiệm
Chúng ta thử các số nguyên gần căn bậc hai của 420. \( \sqrt{420} \approx 20.49 \). Vậy, chúng ta có thể thử các cặp số nguyên liên tiếp xung quanh 20:
- \(19 \times 20 = 380\) (quá nhỏ)
- \(20 \times 21 = 420\) (chính xác!)
Vậy, chúng ta có thể kết luận ngay rằng \(n = 20\).
Cách 2: Giải phương trình bậc hai
Mở rộng biểu thức \(n(n+1)\):
\( n^2 + n = 420 \)
Chuyển 420 sang vế trái để được phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\):
\( n^2 + n – 420 = 0 \)
Ở đây, \(a = 1, b = 1, c = -420\).
Tính biệt thức Delta (\( \Delta \)):
\( \Delta = b^2 – 4ac = 1^2 – 4 \times 1 \times (-420) \)
\( \Delta = 1 + 1680 \)
\( \Delta = 1681 \)
Tìm căn bậc hai của Delta:
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{1681} = 41 \)
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\( n_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 + 41}{2 \times 1} = \frac{40}{2} = 20 \)
\( n_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 – 41}{2 \times 1} = \frac{-42}{2} = -21 \)
Vì \(n\) là số tự nhiên (là số hạng trong dãy 1, 2, 3,…), \(n\) phải là một số nguyên dương. Do đó, chúng ta chọn nghiệm \(n = 20\).
Vậy, chúng ta đã tìm được giá trị của \(n\) là 20.
Bước 2: Tính tổng các lập phương \(1^3 + 2^3 + … + n^3\)
Bây giờ chúng ta đã biết \(n = 20\). Chúng ta cần tính tổng \(1^3 + 2^3 + … + 20^3\).
Có một công thức rất đẹp liên hệ giữa tổng các số tự nhiên và tổng các lập phương của chúng. Công thức này nói rằng:
\( 1^3 + 2^3 + … + n^3 = \left( 1 + 2 + … + n \right)^2 \)
Hay viết dưới dạng công thức tổng quát là:
\( \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \)
Các em có thể nhận thấy rằng, biểu thức trong dấu ngoặc \( \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) \) chính là tổng \(1 + 2 + … + n\). Mà giá trị của tổng này đã được đề bài cho là 210.
Vậy, chúng ta chỉ cần thay thế giá trị này vào công thức:
\( 1^3 + 2^3 + … + n^3 = (210)^2 \)
Bây giờ, chúng ta thực hiện phép tính bình phương:
\( (210)^2 = 210 \times 210 \)
\( (210)^2 = 44100 \)
Kết luận:
Vậy, với \(n = 20\), thì tổng các lập phương \(1^3 + 2^3 + … + 20^3\) bằng 44100.
Qua bài toán này, các em đã ôn lại công thức tính tổng của \(n\) số tự nhiên đầu tiên và đặc biệt là mối liên hệ thú vị giữa tổng các số tự nhiên và tổng các lập phương của chúng. Hãy nhớ kỹ các công thức này nhé, chúng sẽ rất hữu ích trong các bài toán sau này!
Nếu có bất kỳ thắc mắc nào về bài giải, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.
Chúc các em học tốt!
Theo định lý Nicomachus ta có:
\(1^3+2^3+…+n^3\)
\(=(1+2+…+n)^2\)
\(=210^2\)
\(=44100\)
~~~~~~
Chứng minh định lý Nycomachus: \(1^3+2^3+…+n^3=(1+2+…+n)^2\)
– Với \(n=1\) thì ta được: \(1=1\) (đúng)
– Giả sử định lý đúng với \(n=k\)
Tức là: \(1^3+2^3+…+k^3=(1+2+…+k)^2\)
Ta sẽ chứng minh định lý cũng đúng với \(n=k+1\)
Hay: \(1^3+2^3+…+(k+1)^3=[1+2+…+(k+1)]^2=[((k+1)(k+2))/2]^2\)
Thật vậy ta có:
\(1^3+2^3+…+(k+1)^3\)
\(=(1^3+2^3+…+k^3)+(k+1)^3\)
\(=(1+2+…+k)^2+(k+1)^3\)
\(=[(k(k+1))/2]^2+(k+1)^3\)
\(=(k+1)^2*[k^2/4+(k+1)]\)
\(=(k+1)^2*1/4(k^2+4k+4)\)
\(=(k+1)^2*1/4(k+2)^2\)
\(=[((k+1)(k+2))/2]^2\)
Do đó theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(1+2+3+…+n=210\)
\(->(n(n+1))/2=210\)
\(->n(n+1)=420\)
\(->n^2+n-420=0\)
\(Delta=1^2-4*1*(-420)=1681>0\)
Vì \(Delta>0\) nên phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt
\(n_1=(-1+sqrt1681)/(2*1)=20(TM)\)
\(n_2=(-1-sqrt1681)/(2*1)=-21(K T M)\)
\(->n=20\)
\(->1^3+2^3+…+n^3=(1+2+…+n)^2\)
\(=(1+2+…+20)^2\)
\(=((20(20+1))/2)^2\)
\(=210^2=44100\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment