Biết đa thức f(x) chia cho (x + 3) thì dư 10, chia cho (x – 2) thì dư 5, chia ch…
giúp mình ạ
Đề bài: Biết đa thức f(x) chia cho (x + 3) thì dư 10, chia cho (x – 2) thì dư 5, chia cho (x + 3)(x – 2) được thương là (2x) và còn dư. Tìm đa thức f(x) và sắp xếp đa thức f(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Bơzu và thuật toán chia đa thức.
Bước 1: Sử dụng Định lý Bơzu để xác định mối quan hệ giữa đa thức f(x) và các số dư.
Theo Định lý Bơzu, nếu đa thức f(x) chia cho (x – a) dư R thì ta có f(a) = R.
Từ đề bài, ta có:
- f(x) chia cho (x + 3) dư 10. Điều này có nghĩa là: \( f(-3) = 10 \).
- f(x) chia cho (x – 2) dư 5. Điều này có nghĩa là: \( f(2) = 5 \).
Bước 2: Biểu diễn đa thức f(x) dựa trên phép chia cho (x + 3)(x – 2).
Khi chia đa thức f(x) cho một đa thức bậc hai, số dư sẽ là một đa thức có bậc nhỏ hơn 2, tức là có dạng ax + b.
Theo đề bài, f(x) chia cho (x + 3)(x – 2) được thương là (2x) và còn dư. Gọi số dư là (ax + b). Ta có biểu thức sau:
\( f(x) = (x + 3)(x – 2) \cdot (2x) + (ax + b) \)
\( f(x) = (2x^3 + 6x^2 – 4x^2 – 12x) + (ax + b) \)
\( f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 12x + ax + b \)
\( f(x) = 2x^3 + 2x^2 + (a – 12)x + b \)
Bước 3: Sử dụng các giá trị f(-3) và f(2) để lập hệ phương trình tìm a và b.
Ta thay x = -3 vào biểu thức của f(x):
\( f(-3) = 2(-3)^3 + 2(-3)^2 + (a – 12)(-3) + b = 10 \)
\( 2(-27) + 2(9) – 3a + 36 + b = 10 \)
\( -54 + 18 – 3a + 36 + b = 10 \)
\( -3a + b = 10 \) (1)
Ta thay x = 2 vào biểu thức của f(x):
\( f(2) = 2(2)^3 + 2(2)^2 + (a – 12)(2) + b = 5 \)
\( 2(8) + 2(4) + 2a – 24 + b = 5 \)
\( 16 + 8 + 2a – 24 + b = 5 \)
\( 2a + b = 5 \) (2)
Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm a và b.
Ta có hệ phương trình:
(1) \( -3a + b = 10 \)
(2) \( 2a + b = 5 \)
Trừ phương trình (2) cho phương trình (1):
\( (2a + b) – (-3a + b) = 5 – 10 \)
\( 2a + b + 3a – b = -5 \)
\( 5a = -5 \)
\( a = -1 \)
Thay a = -1 vào phương trình (2):
\( 2(-1) + b = 5 \)
\( -2 + b = 5 \)
\( b = 7 \)
Bước 5: Tìm đa thức f(x) và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Ta có dạng của f(x) là: \( f(x) = 2x^3 + 2x^2 + (a – 12)x + b \)
Thay a = -1 và b = 7 vào:
\( f(x) = 2x^3 + 2x^2 + (-1 – 12)x + 7 \)
\( f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 13x + 7 \)
Đa thức f(x) đã được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.
Vậy, đa thức f(x) là \( 2x^3 + 2x^2 – 13x + 7 \).
Các em thấy đó, thông qua Định lý Bơzu và việc lập hệ phương trình, chúng ta đã tìm được đa thức f(x) một cách chính xác. Các em hãy cố gắng luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nâng cao kỹ năng của mình nhé!
Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.
Vì đa thức chia có bậc là \(2\)
Suy ra đa thức dư có bậc tối đa là \(1\)
Gọi đa thức dư là \(ax+b\)
\(f(x)=2x(x+3)(x-2)+ax+b\)
Định lý Bezout:
\(f(x)\) chia \(x+3\) dư \(10 -> f(-3)=10\)
\(f(x)\) chia \(x-2\) dư \(5 -> f(2)=5\)
Suy ra:
\(f(-3)=2(-3)(-3+3)(-3-2)-3a+b\)
\(-3a+b=10(1)\)
\(f(2)=2*2*(2+3)(2-2)+2a+b\)
\(2a+b=5(2)\)
Lấy \((1)\) trừ \((2)\) vế theo vế:
\((-3a+b)-(2a+b)=10-5\)
\(-5a=5\)
\(a=-1\)
Thay vào \((2)\)
\(2(-1)+b=5\)
\(-2+b=5\)
\(b=7\)
Do đó:
\(f(x)=2x(x+3)(x-2)-x+7\)
\(f(x)=2x(x^2+x-6)-x+7\)
\(f(x)=2x^3+2x^2-12x-x+7\)
\(f(x)=2x^3+2x^2-13x+7\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có \(f(x)\) chia cho đa thức bậc hai \((x + 3)(x – 2)\) được thương là \(2x\)
\(=>\) Đa thức dư sẽ có dạng bậc nhất là \(ax + b\)
\(=> f(x) = (x + 3)(x – 2) * 2x + ax + b\)
Ta có:
\(f(x) : (x + 3)\) dư \(10\)
\(=> f(-3) = 10\)
\(f(x) : (x – 2)\) dư \(5\)
\(=> f(2) = 5\)
Xét \(x = -3:\)
\(f(-3) = (-3 + 3)(-3 – 2) * 2(-3) + a(-3) + b = 10\)
\(3a + b = 10\)
Xét \(x = 2:\)
\(f(2) = (2 + 3)(2 – 2) * 2(2) + a(2) + b = 5\)
\(2a + b = 5\)
\(=> (2a + b) – (-3a + b) = 5 – 10\)
\(=> 5a = -5\)
\(=> a = -1\)
Thay \(a = -1\) vào \(2a + b =5\) vào ta được:
\(2(-1) + b = 5\)
\(-2 + b = 5\)
\(b = 7\)
Vậy đa thức dư là \(-x + 7\)
\(=> f(x) = (x + 3)(x – 2) * 2x + (-x + 7)\)
\(=> f(x) = (x^2 + x – 6) * 2x – x + 7\)
\(=> f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 12x – x + 7\)
\(=> f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 13x + 7\)
Vậy \(f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 13x + 7\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment