Biết đa thức f(x) chia cho (x + 3) thì dư 10, chia cho (x – 2) thì dư…
giúp mình ạ
Chào em, đây là một bài toán rất hay và kinh điển trong chương trình Toán lớp 7 phần Đa thức một biến. Để giải quyết bài toán này, thầy/cô sẽ hướng dẫn em đi từng bước một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé.
Bước 1: Xác định dạng tổng quát của số dư khi chia cho tích hai nhị thức
Theo đề bài, đa thức f(x) khi chia cho tích (x + 3)(x – 2) sẽ được thương là (2x). Vì đây là phép chia đa thức cho đa thức, bậc của đa thức chia ở đây là bậc 2 (do có dạng tích của hai biểu thức bậc nhất). Do đó, số dư của phép chia này phải là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia, nghĩa là số dư sẽ có dạng tổng quát là bậc nhất hoặc bậc không (hằng số).
Gọi số dư của phép chia f(x) cho (x + 3)(x – 2) là ax + b (với a và b là các hằng số cần tìm).
Bước 2: Viết hệ thức của phép chia đa thức
Dựa vào địnhم lý về phép chia có dư, ta viết được biểu thức của đa thức f(x) như sau:
f(x) = (x + 3) nhân (x – 2) nhân (2x) + (ax + b)
Bước 3: Dùng dữ kiện đề bài để tìm hằng số a và b
Theo đề bài, ta có hai thông tin quan trọng:
- Đa thức f(x) chia cho (x + 3) dư 10. Theo định lý Bezout, giá trị của đa thức tại x = -3 chính là số dư. Vậy ta có f(-3) = 10.
- Đa thức f(x) chia cho (x – 2) dư 5. Tương tự, ta có giá trị của đa thức tại x = 2 là f(2) = 5.
Bây giờ, chúng ta thay lần lượt các giá trị của x vào biểu thức f(x) ở Bước 2:
Thứ nhất, với x = -3:
Thay x = -3 vào biểu thức f(x), phần tích của phép chia sẽ chứa nhân tử (x + 3) nên bằng 0. Ta còn lại phần số dư:
f(-3) = a nhân (-3) + b = 10
Hay ta có phương trình thứ nhất: -3a + b = 10
Thứ hai, với x = 2:
Thay x = 2 vào biểu thức f(x), phần tích của phép chia sẽ chứa nhân tử (x – 2) nên cũng bằng 0. Ta còn lại:
f(2) = a nhân 2 + b = 5
Hay ta có phương trình thứ hai: 2a + b = 5
Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm a và b
Ta có hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
- -3a + b = 10
- 2a + b = 5
Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai, ta được:
(-3a – 2a) + (b – b) = 10 – 5
-5a = 5
a = 5 chia cho (-5)
a = -1
Thay a = -1 vào phương trình 2a + b = 5, ta được:
2 nhân (-1) + b = 5
-2 + b = 5
b = 5 cộng 2
b = 7
Vậy số dư của phép chia là đa thức: -x + 7.
Bước 5: Tìm đa thức f(x) hoàn chỉnh và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần
Bây giờ ta thay a = -1 và b = 7 vào biểu thức f(x) ở Bước 2:
f(x) = (x + 3) nhân (x – 2) nhân (2x) + (-x + 7)
Bây giờ, chúng ta thực hiện phép nhân đa thức để rút gọn:
- Nhân hai ngoặc đầu tiên trước: (x + 3) nhân (x – 2) = x bình phương – 2x + 3x – 6 = x bình phương + x – 6.
- Nhân tiếp với (2x): (x bình phương + x – 6) nhân (2x) = 2x mũ 3 + 2x bình phương – 12x.
- Cộng thêm phần số dư vào: f(x) = 2x mũ 3 + 2x bình phương – 12x – x + 7.
- Thu gọn các hạng tử đồng dạng (-12x và -x): f(x) = 2x mũ 3 + 2x bình phương – 13x + 7.
Kết luận:
Đa thức f(x) cần tìm sau khi đã được sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến là:
f(x) = 2x mũ 3 + 2x bình phương – 13x + 7
Chúc em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé! Nếu có gì chưa hiểu, em cứ hỏi lại thầy/cô nha.
Vì đa thức chia có bậc là \(2\)
Suy ra đa thức dư có bậc tối đa là \(1\)
Gọi đa thức dư là \(ax+b\)
\(f(x)=2x(x+3)(x-2)+ax+b\)
Định lý Bezout:
\(f(x)\) chia \(x+3\) dư \(10 -> f(-3)=10\)
\(f(x)\) chia \(x-2\) dư \(5 -> f(2)=5\)
Suy ra:
\(f(-3)=2(-3)(-3+3)(-3-2)-3a+b\)
\(-3a+b=10(1)\)
\(f(2)=2*2*(2+3)(2-2)+2a+b\)
\(2a+b=5(2)\)
Lấy \((1)\) trừ \((2)\) vế theo vế:
\((-3a+b)-(2a+b)=10-5\)
\(-5a=5\)
\(a=-1\)
Thay vào \((2)\)
\(2(-1)+b=5\)
\(-2+b=5\)
\(b=7\)
Do đó:
\(f(x)=2x(x+3)(x-2)-x+7\)
\(f(x)=2x(x^2+x-6)-x+7\)
\(f(x)=2x^3+2x^2-12x-x+7\)
\(f(x)=2x^3+2x^2-13x+7\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có \(f(x)\) chia cho đa thức bậc hai \((x + 3)(x – 2)\) được thương là \(2x\)
\(=>\) Đa thức dư sẽ có dạng bậc nhất là \(ax + b\)
\(=> f(x) = (x + 3)(x – 2) * 2x + ax + b\)
Ta có:
\(f(x) : (x + 3)\) dư \(10\)
\(=> f(-3) = 10\)
\(f(x) : (x – 2)\) dư \(5\)
\(=> f(2) = 5\)
Xét \(x = -3:\)
\(f(-3) = (-3 + 3)(-3 – 2) * 2(-3) + a(-3) + b = 10\)
\(3a + b = 10\)
Xét \(x = 2:\)
\(f(2) = (2 + 3)(2 – 2) * 2(2) + a(2) + b = 5\)
\(2a + b = 5\)
\(=> (2a + b) – (-3a + b) = 5 – 10\)
\(=> 5a = -5\)
\(=> a = -1\)
Thay \(a = -1\) vào \(2a + b =5\) vào ta được:
\(2(-1) + b = 5\)
\(-2 + b = 5\)
\(b = 7\)
Vậy đa thức dư là \(-x + 7\)
\(=> f(x) = (x + 3)(x – 2) * 2x + (-x + 7)\)
\(=> f(x) = (x^2 + x – 6) * 2x – x + 7\)
\(=> f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 12x – x + 7\)
\(=> f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 13x + 7\)
Vậy \(f(x) = 2x^3 + 2x^2 – 13x + 7\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment