Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau “mổ xẻ” một bài toán rất quan trọng trong chương Dao động điều hòa, đó là tìm biểu thức của vận tốc và gia tốc khi chúng ta đã biết phương trình li độ.

Các em còn nhớ, phương trình li độ của một vật dao động điều hòa được cho bởi:

\(x = A \cos(\omega t + \varphi)\)

Trong đó:

• \(x\): li độ (vị trí) của vật tại thời điểm \(t\).
• \(A\): Biên độ dao động, là độ lớn li độ cực đại.
• \(\omega\): Tần số góc, đặc trưng cho tốc độ dao động.
• \((\omega t + \varphi)\): Pha dao động tại thời điểm \(t\).
• \(\varphi\): Pha ban đầu, pha tại thời điểm \(t=0\).

Mục tiêu của chúng ta là tìm vận tốc \(v\) và gia tốc \(a\) theo li độ \(x\).

1. Tìm biểu thức của vận tốc (\(v\)) theo li độ (\(x\))

Như các em đã biết, vận tốc tức thời của vật là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian.

\(v = \frac{dx}{dt}\)

Ta có phương trình li độ:

\(x = A \cos(\omega t + \varphi)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đạo hàm \(x\) theo \(t\):

\(v = \frac{d}{dt} [A \cos(\omega t + \varphi)]\)

\(v = A \cdot (-\sin(\omega t + \varphi)) \cdot \frac{d}{dt}(\omega t + \varphi)\)

Trong đó, \(\frac{d}{dt}(\omega t + \varphi) = \omega\). Vậy, ta có:

\(v = A \cdot (-\sin(\omega t + \varphi)) \cdot \omega\)

\(v = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)\)

Đây là biểu thức của vận tốc theo thời gian. Để biểu diễn \(v\) theo \(x\), chúng ta sẽ sử dụng mối liên hệ lượng giác cơ bản:

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)

Từ đó, \(\sin\alpha = \pm\sqrt{1 – \cos^2\alpha}\). Áp dụng cho pha dao động \((\omega t + \varphi)\):

\(\sin(\omega t + \varphi) = \pm\sqrt{1 – \cos^2(\omega t + \varphi)}\)

Từ phương trình li độ \(x = A \cos(\omega t + \varphi)\), ta suy ra \(\cos(\omega t + \varphi) = \frac{x}{A}\). Thay thế vào biểu thức trên:

\(\sin(\omega t + \varphi) = \pm\sqrt{1 – \left(\frac{x}{A}\right)^2}\)

\(\sin(\omega t + \varphi) = \pm\sqrt{1 – \frac{x^2}{A^2}}\)

\(\sin(\omega t + \varphi) = \pm\frac{\sqrt{A^2 – x^2}}{A}\)

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức này của \(\sin(\omega t + \varphi)\) trở lại phương trình vận tốc \(v = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)\):

\(v = -A\omega \left(\pm\frac{\sqrt{A^2 – x^2}}{A}\right)\)

Ta có thể rút gọn \(A\):

\(v = \mp\omega \sqrt{A^2 – x^2}\)

Giải thích:

• Dấu \(\mp\) (trừ-cộng) cho biết chiều chuyển động của vật.
• Khi vật đi theo chiều dương (li độ tăng từ \(-A\) đến \(A\)), vận tốc \(v\) dương, chúng ta lấy dấu trừ trong \(\mp\). Tức là, nếu \(v > 0\) thì \(\sin(\omega t + \varphi) < 0\).
• Khi vật đi theo chiều âm (li độ giảm từ \(A\) về \(-A\)), vận tốc \(v\) âm, chúng ta lấy dấu cộng trong \(\mp\). Tức là, nếu \(v < 0\) thì \(\sin(\omega t + \varphi) > 0\).
• Khi vật ở vị trí biên (\(x = A\) hoặc \(x = -A\)), vận tốc \(v = \mp\omega \sqrt{A^2 – A^2} = 0\). Điều này hoàn toàn hợp lý vì ở biên vật đổi chiều chuyển động nên vận tốc tức thời bằng 0.
• Khi vật ở vị trí cân bằng (\(x = 0\)), vận tốc có độ lớn cực đại: \(|v_{max}| = \omega \sqrt{A^2 – 0^2} = A\omega\).

2. Tìm biểu thức của gia tốc (\(a\)) theo li độ (\(x\))

Gia tốc tức thời của vật là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian, hoặc đạo hàm bậc hai của li độ theo thời gian.

\(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\)

Chúng ta đã tìm được biểu thức của vận tốc theo thời gian:

\(v = -A\omega \sin(\omega t + \varphi)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đạo hàm \(v\) theo \(t\) để tìm \(a\):

\(a = \frac{d}{dt} [-A\omega \sin(\omega t + \varphi)]\)

\(a = -A\omega \cdot \cos(\omega t + \varphi) \cdot \frac{d}{dt}(\omega t + \varphi)\)

Tương tự như trên, \(\frac{d}{dt}(\omega t + \varphi) = \omega\). Vậy:

\(a = -A\omega \cdot \cos(\omega t + \varphi) \cdot \omega\)

\(a = -A\omega^2 \cos(\omega t + \varphi)\)

Để biểu diễn \(a\) theo \(x\), chúng ta hãy nhìn lại phương trình li độ ban đầu:

\(x = A \cos(\omega t + \varphi)\)

Các em có thấy điều đặc biệt không? Phần \(A \cos(\omega t + \varphi)\) trong biểu thức của gia tốc chính là li độ \(x\)!

Do đó, chúng ta có thể thay thế nó vào biểu thức của gia tốc:

\(a = -\omega^2 (A \cos(\omega t + \varphi))\)

\(a = -\omega^2 x\)

Giải thích:

• Biểu thức \(a = -\omega^2 x\) cho thấy gia tốc của vật luôn tỉ lệ thuận với li độ \(x\).
• Dấu trừ cho biết gia tốc luôn ngược chiều với li độ, hay nói cách khác, gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng (\(x=0\)). Đây chính là đặc trưng của dao động điều hòa!
• Khi vật ở vị trí cân bằng (\(x = 0\)), gia tốc \(a = -\omega^2 \cdot 0 = 0\).
• Khi vật ở vị trí biên (\(x = A\) hoặc \(x = -A\)), gia tốc có độ lớn cực đại: \(|a_{max}| = |-\omega^2 A| = \omega^2 A\).

Tóm tắt lại các công thức quan trọng:

Cho li độ dao động điều hòa: \(x = A \cos(\omega t + \varphi)\)

1. Vận tốc theo li độ:

\(v = \mp\omega \sqrt{A^2 – x^2}\)

Với dấu \(\mp\) được chọn tùy theo chiều chuyển động của vật.

2. Gia tốc theo li độ:

\(a = -\omega^2 x\)

Đây là những công thức cốt lõi mà các em sẽ dùng rất nhiều trong các bài toán về dao động điều hòa. Hãy nắm vững cách suy luận và ý nghĩa của từng công thức nhé.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!

Chúc các em học tốt!