Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán rút gọn biểu thức có vẻ hơi phức tạp một chút. Nhưng đừng lo, chúng ta sẽ đi từng bước một, thật chi tiết để ai cũng có thể hiểu được.

Trước hết, chúng ta sẽ làm với biểu thức b.

Bài toán 1: Rút gọn biểu thức b

Cho biểu thức:
\(b=\([(x+1)/(2x-2) + 3/(x^2 -1) – (x+3)/(2x+2)](4x^2 -4)/5\))

Đầu tiên, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của biểu thức. Các mẫu số phải khác 0.
Ta có các mẫu số: \(2x-2\), \(x^2-1\), \(2x+2\).

* \(2x-2 \neq 0 \implies 2x \neq 2 \implies x \neq 1\)
* \(x^2-1 \neq 0 \implies (x-1)(x+1) \neq 0 \implies x \neq 1\) và \(x \neq -1\)
* \(2x+2 \neq 0 \implies 2x \neq -2 \implies x \neq -1\)

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức b là \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\).

Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung vào phần biểu thức trong ngoặc vuông:
\([(x+1)/(2x-2) + 3/(x^2 -1) – (x+3)/(2x+2)]\)

Chúng ta cần quy đồng mẫu số cho các phân thức này.
Ta thấy:
* \(2x-2 = 2(x-1)\)
* \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\)
* \(2x+2 = 2(x+1)\)

Mẫu số chung nhỏ nhất của ba phân thức này là \(2(x-1)(x+1)\).

Bây giờ, ta quy đồng từng phân thức:

* Phân thức thứ nhất: \((x+1)/(2x-2)\)
Ta nhân cả tử và mẫu với \((x+1)\):
\(((x+1)(x+1))/(2(x-1)(x+1)) = (x+1)^2 / (2(x^2-1))\)

* Phân thức thứ hai: \(3/(x^2-1)\)
Ta nhân cả tử và mẫu với \(2\):
\((3 \times 2) / (2(x^2-1)) = 6 / (2(x^2-1))\)

* Phân thức thứ ba: \((x+3)/(2x+2)\)
Ta nhân cả tử và mẫu với \((x-1)\):
\(((x+3)(x-1)) / (2(x+1)(x-1)) = (x^2 – x + 3x – 3) / (2(x^2-1)) = (x^2 + 2x – 3) / (2(x^2-1))\)

Bây giờ, chúng ta cộng trừ các phân thức đã quy đồng:
\(((x+1)^2 + 6 – (x^2 + 2x – 3)) / (2(x^2-1))\)

Ta khai triển và rút gọn tử số:
\((x^2 + 2x + 1 + 6 – x^2 – 2x + 3) / (2(x^2-1))\)
\(( (x^2 – x^2) + (2x – 2x) + (1 + 6 + 3) ) / (2(x^2-1))\)
\(10 / (2(x^2-1))\)
Ta có thể rút gọn thêm: \(5 / (x^2-1)\)

Vậy, phần trong ngoặc vuông rút gọn lại là \(5 / (x^2-1)\).

Bây giờ, ta quay lại biểu thức b ban đầu:
\(b = [5 / (x^2-1)] \times (4x^2 -4)/5\)

Ta thấy \(4x^2-4 = 4(x^2-1)\).
Thay vào biểu thức b:
\(b = [5 / (x^2-1)] \times [4(x^2-1)/5]\)

Bây giờ, chúng ta tiến hành rút gọn:
\(b = (5 \times 4(x^2-1)) / ((x^2-1) \times 5)\)
Ta có thể triệt tiêu \(5\) ở tử và mẫu.
Ta cũng có thể triệt tiêu \((x^2-1)\) ở tử và mẫu (vì điều kiện xác định là \(x \neq 1\) và \(x \neq -1\), nên \(x^2-1 \neq 0\)).

Vậy, ta còn lại:
b = 4

Như vậy, biểu thức b đã được rút gọn thành một hằng số là 4.

—

Tiếp theo, chúng ta sẽ đến với biểu thức A.

Bài toán 2: Rút gọn biểu thức A

Cho biểu thức:
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2-100)/(x^2 + 4)\))

Tương tự như bài toán trên, chúng ta cần xác định điều kiện xác định.
Các mẫu số là: \(x^2-10\), \(x^2+10\), \(x^2+4\).
* \(x^2-10 \neq 0 \implies x^2 \neq 10 \implies x \neq \sqrt{10}\) và \(x \neq -\sqrt{10}\)
* \(x^2+10 \neq 0\). Vì \(x^2 \ge 0\) với mọi x, nên \(x^2+10 \ge 10\), do đó \(x^2+10\) luôn khác 0 với mọi x thực.
* \(x^2+4 \neq 0\). Tương tự, \(x^2+4\) luôn khác 0 với mọi x thực.

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức A là \(x \neq \sqrt{10}\) và \(x \neq -\sqrt{10}\).

Chúng ta sẽ xử lý phần trong ngoặc vuông trước:
\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)]\)

Mẫu số chung nhỏ nhất cho hai phân thức này là \((x^2-10)(x^2+10)\).
Ta quy đồng:
* Phân thức thứ nhất: \((5x+2)/(x^2-10)\)
Nhân cả tử và mẫu với \((x^2+10)\):
\(((5x+2)(x^2+10)) / ((x^2-10)(x^2+10))\)
Khai triển tử số: \(5x^3 + 50x + 2x^2 + 20 = 5x^3 + 2x^2 + 50x + 20\)

* Phân thức thứ hai: \((5x-2)/(x^2+10)\)
Nhân cả tử và mẫu với \((x^2-10)\):
\(((5x-2)(x^2-10)) / ((x^2+10)(x^2-10))\)
Khai triển tử số: \(5x^3 – 50x – 2x^2 + 20 = 5x^3 – 2x^2 – 50x + 20\)

Bây giờ, ta cộng hai phân thức đã quy đồng:
\(( (5x^3 + 2x^2 + 50x + 20) + (5x^3 – 2x^2 – 50x + 20) ) / ((x^2-10)(x^2+10))\)

Ta rút gọn tử số:
\( (5x^3 + 5x^3) + (2x^2 – 2x^2) + (50x – 50x) + (20 + 20) \)
\( 10x^3 + 40 \)

Mẫu số \((x^2-10)(x^2+10)\) chính là \(x^4 – 100\).
Vậy, phần trong ngoặc vuông rút gọn là \((10x^3 + 40) / (x^4 – 100)\).

Bây giờ, ta quay lại biểu thức A ban đầu:
\(A = [(10x^3 + 40) / (x^4 – 100)] \times (x^2-100)/(x^2 + 4)\)

Ta thấy \(x^4 – 100 = (x^2-10)(x^2+10)\).
Thay vào biểu thức A:
\(A = [(10x^3 + 40) / ((x^2-10)(x^2+10))] \times (x^2-100)/(x^2 + 4)\)

Chúng ta có thể viết lại \(10x^3 + 40 = 10(x^3+4)\).
Và \(x^2-100\) có thể rút gọn được với mẫu số của phân thức thứ nhất.
Chúng ta sẽ cẩn thận ở bước này.

Ta nhận ra rằng \(x^2-100\) không thể triệt tiêu trực tiếp với \((x^2-10)(x^2+10)\) mà không có sự liên hệ. Tuy nhiên, ta thấy ở phần mẫu số của phân thức thứ hai là \(x^2+4\).

Hãy xem lại biểu thức A:
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2-100)/(x^2 + 4)\).

Chúng ta đã có:
\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)] = (10x^3 + 40) / (x^4 – 100)\)

Thay vào A:
\(A = [(10x^3 + 40) / (x^4 – 100)] \times (x^2-100)/(x^2 + 4)\)

Ta có thể viết lại \(x^4 – 100\) là \((x^2)^2 – 10^2 = (x^2-10)(x^2+10)\).

\(A = [(10x^3 + 40) / ((x^2-10)(x^2+10))] \times (x^2-100)/(x^2 + 4)\)

Có vẻ như có một sự nhầm lẫn nhỏ trong đề bài hoặc cách viết của tôi. Nếu \(x^2-100\) ở tử số và \(x^4-100\) ở mẫu số, ta có thể rút gọn.
Nếu đề bài là:
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2-100)/(x^2 + 4)\).

Và chúng ta đã tính ra phần ngoặc vuông là:
\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)] = \frac{5x^3 + 2x^2 + 50x + 20 + 5x^3 – 2x^2 – 50x + 20}{(x^2-10)(x^2+10)}\)
\( = \frac{10x^3 + 40}{x^4 – 100} \)

Vậy A là:
\( A = \frac{10x^3 + 40}{x^4 – 100} \times \frac{x^2-100}{x^2+4} \)

Ta có thể viết \(x^4 – 100 = (x^2-10)(x^2+10)\).
\( A = \frac{10x^3 + 40}{(x^2-10)(x^2+10)} \times \frac{x^2-100}{x^2+4} \)

Có vẻ như \(x^2-100\) không thể triệt tiêu với \((x^2-10)(x^2+10)\).
Tuy nhiên, nếu đề bài có \(x^2-10\) hoặc \(x^2+10\) ở mẫu thay vì \(x^2-100\) ở tử, thì việc rút gọn sẽ dễ dàng hơn.

Tôi sẽ giả định rằng \(x^2-100\) là để rút gọn với một phần nào đó của biểu thức.

Hãy xem lại đề bài:
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2-100)/(x^2 + 4)\).

Tôi nghĩ có thể có một lỗi đánh máy trong đề bài. Nếu \(x^2-100\) là để rút gọn thì nó cần có \((x^2-100)\) ở mẫu số hoặc là một biểu thức có thể tạo ra \((x^2-100)\).

Giả sử đề bài đúng như vậy. Ta có:
\(A = \frac{10x^3 + 40}{x^4 – 100} \times \frac{x^2-100}{x^2+4}\)

Ta có thể viết lại \(x^4 – 100 = (x^2-10)(x^2+10)\).
Và \(x^2-100\) không liên quan trực tiếp để rút gọn với \((x^2-10)(x^2+10)\).

Tuy nhiên, ta có thể viết lại \(x^4 – 100\) là \((x^2-10)(x^2+10)\).
Và \((x^2-100)\) không thể rút gọn với \((x^2-10)(x^2+10)\).

Chúng ta có thể rút gọn tử số \(10x^3 + 40 = 10(x^3+4)\).
Và mẫu số \(x^4 – 100\).

Nếu đề bài yêu cầu rút gọn thì thường sẽ có sự triệt tiêu.
Ta thử lại phần tính toán của ngoặc vuông:
\( \frac{5x+2}{x^2-10} + \frac{5x-2}{x^2+10} = \frac{(5x+2)(x^2+10) + (5x-2)(x^2-10)}{(x^2-10)(x^2+10)} \)
\( = \frac{5x^3+50x+2x^2+20 + 5x^3-50x-2x^2+20}{x^4-100} \)
\( = \frac{10x^3+40}{x^4-100} \)

Vậy, \( A = \frac{10x^3+40}{x^4-100} \times \frac{x^2-100}{x^2+4} \)

Ta có thể viết lại \(x^4 – 100 = (x^2-10)(x^2+10)\).
Ta không thể triệt tiêu \(x^2-100\) với \(x^4-100\).

Có thể đề bài đã muốn có \((x^2+10)\) ở tử thay vì \((x^2-100)\) hoặc có \(x^2-100\) ở mẫu số.

Nếu ta giữ nguyên đề bài và cố gắng rút gọn:
\( A = \frac{10(x^3+4)}{(x^2-10)(x^2+10)} \times \frac{x^2-100}{x^2+4} \)

Trong trường hợp này, không có sự rút gọn mạnh mẽ nào xảy ra giữa các thừa số, trừ khi có mối liên hệ ẩn.

Tuy nhiên, nếu ta giả định rằng đề bài có thể là:
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2+10)/(x^2 + 4)\)
Hoặc
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2-100)/(x^4-100)\)

Nếu là trường hợp thứ hai:
\( A = \frac{10x^3+40}{x^4-100} \times \frac{x^2-100}{x^4-100} \)
Thì cũng không triệt tiêu được nhiều.

Nếu đề bài là:
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2+10)/(x^2 + 4)\)
Thì:
\( A = \frac{10x^3+40}{(x^2-10)(x^2+10)} \times \frac{x^2+10}{x^2+4} \)
\( A = \frac{10x^3+40}{(x^2-10)(x^2+4)} \)
\( A = \frac{10(x^3+4)}{(x^2-10)(x^2+4)} \)

Đây là một trường hợp có thể rút gọn.

Với đề bài được cho chính xác, phần rút gọn của A sẽ là:
\( A = \frac{(10x^3 + 40)(x^2-100)}{(x^4 – 100)(x^2+4)} \)
\( A = \frac{10(x^3+4)(x^2-100)}{(x^2-10)(x^2+10)(x^2+4)} \)

Trong dạng này, không có thêm sự rút gọn nào có thể thực hiện được với các đa thức hiện có.

Nếu các em gặp bài toán tương tự và thấy không thể rút gọn được, hãy kiểm tra lại đề bài cẩn thận hoặc xem có lỗi đánh máy hay không.

Tuy nhiên, nếu đề bài là:
\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^4 – 100)/(x^2 + 4)\)
Thì:
\( A = \frac{10x^3+40}{x^4-100} \times \frac{x^4-100}{x^2+4} \)
\( A = \frac{10x^3+40}{x^2+4} \)
\( A = \frac{10(x^3+4)}{x^2+4} \)

Đây là một khả năng cao là đề bài mong muốn.

Tuy nhiên, theo đúng đề bài đã cho:

\(A=\([(5x+2)/(x^2 -10) + (5x-2)/(x^2 + 10)](x^2-100)/(x^2 + 4)\)

Ta đã tính ra phần trong ngoặc vuông là: \(\frac{10x^3 + 40}{x^4 – 100}\)

Vậy,
\( A = \frac{10x^3 + 40}{x^4 – 100} \times \frac{x^2-100}{x^2+4} \)

Ta có \(x^4 – 100 = (x^2-10)(x^2+10)\).
\( A = \frac{10x^3 + 40}{(x^2-10)(x^2+10)} \times \frac{x^2-100}{x^2+4} \)

Không có thêm bước rút gọn nào có thể thực hiện trực tiếp được từ biểu thức này.
Kết quả cuối cùng cho A, với đề bài đã cho, là:
\( \frac{10(x^3+4)(x^2-100)}{(x^2-10)(x^2+10)(x^2+4)} \)

Các em có thể nhân lại nếu muốn, nhưng dạng này cũng là dạng rút gọn cuối cùng nếu không có sự tương đồng giữa các thừa số.

Trong bài học hôm nay, chúng ta đã giải quyết được bài toán b một cách trọn vẹn. Đối với bài toán A, có thể đề bài cần được kiểm tra lại để có kết quả rút gọn đẹp hơn. Tuy nhiên, quy trình phân tích và rút gọn từng bước là điều quan trọng nhất mà các em cần nắm vững.

Các em có câu hỏi nào không?