Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải một số bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số. Thầy sẽ trình bày chi tiết từng bài để các em dễ theo dõi nhé.

Bài toán C1:

Cho hệ phương trình:

\(
\begin{cases}
mx – 2y = m+1 \\
x + 2y = -3
\end{cases}
\)

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

Lời giải:

Để một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, điều kiện cần và đủ là tỉ số của các hệ số của x phải khác tỉ số của các hệ số của y.

Trong hệ phương trình đã cho, ta có:

• Hệ số của x ở phương trình thứ nhất là \(m\).
• Hệ số của y ở phương trình thứ nhất là \(-2\).
• Hệ số của x ở phương trình thứ hai là \(1\).
• Hệ số của y ở phương trình thứ hai là \(2\).

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\frac{m}{1} \neq \frac{-2}{2}\)

Ta có:

\(\frac{-2}{2} = -1\)

Vậy, điều kiện trở thành:

\(m \neq -1\)

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(m \neq -1\).

Bài toán C2:

Tìm số giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có vô số nghiệm:

\(
\begin{cases}
x + y = 1 \\
mx + y = 2m
\end{cases}
\)

Lời giải:

Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm khi hai phương trình của hệ là tương đương nhau. Điều này có nghĩa là tỉ lệ giữa các hệ số tương ứng của x, y và các hằng số là bằng nhau.

Ta xét hệ phương trình:

\(
\begin{cases}
x + y = 1 \\
mx + y = 2m
\end{cases}
\)

Để hệ có vô số nghiệm, ta cần có:

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}\)

Trong đó:

• \(a_1 = 1\), \(b_1 = 1\), \(c_1 = 1\) (từ phương trình thứ nhất)
• \(a_2 = m\), \(b_2 = 1\), \(c_2 = 2m\) (từ phương trình thứ hai)

Áp dụng điều kiện, ta có:

\(\frac{1}{m} = \frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\)

Từ điều kiện \(\frac{1}{m} = \frac{1}{1}\), ta có \(m = 1\).

Bây giờ, ta kiểm tra xem với \(m = 1\) thì điều kiện \(\frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\) có thỏa mãn không.

Thay \(m = 1\) vào \(\frac{1}{2m}\), ta được \(\frac{1}{2(1)} = \frac{1}{2}\).

Ta có \(\frac{1}{1} = 1\) và \(\frac{1}{2}\).

Rõ ràng \(1 \neq \frac{1}{2}\).

Điều này có nghĩa là không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn đồng thời cả ba tỉ lệ bằng nhau.

Chúng ta cần xem xét kỹ lại điều kiện. Hệ có vô số nghiệm khi hai phương trình là bội số của nhau.

Ta xét tỉ lệ của các hệ số:

\(\frac{1}{m}\) (tỉ lệ hệ số x)

\(\frac{1}{1}\) (tỉ lệ hệ số y)

\(\frac{1}{2m}\) (tỉ lệ hằng số)

Để có vô số nghiệm, ta cần:

\(\frac{1}{m} = \frac{1}{1}\) (1)

\(\frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\) (2)

Từ phương trình (1), ta có \(m = 1\).

Từ phương trình (2), ta có \(2m = 1\), suy ra \(m = \frac{1}{2}\).

Vì \(m\) không thể đồng thời bằng \(1\) và \(\frac{1}{2}\), nên không có giá trị nào của \(m\) để hệ có vô số nghiệm theo cách hiểu thông thường.

Tuy nhiên, ta cần lưu ý một trường hợp đặc biệt khi mẫu số bằng 0. Ở đây, \(m\) không được bằng 0 trong tỉ lệ \(\frac{1}{m}\) và \(\frac{1}{2m}\).

Ta có thể giải hệ bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

\((x + y) – (mx + y) = 1 – 2m\)

\(x – mx = 1 – 2m\)

\(x(1 – m) = 1 – 2m\)

Trường hợp 1: Hệ có vô số nghiệm khi hai phương trình là trùng nhau.

Điều này xảy ra khi các hệ số tương ứng tỉ lệ với nhau.

\(\frac{1}{m} = \frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\)

Từ \(\frac{1}{m} = \frac{1}{1}\) ta được \(m = 1\).

Từ \(\frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\) ta được \(2m = 1 \implies m = \frac{1}{2}\).

Vì \(m\) không thể đồng thời nhận hai giá trị \(1\) và \(\frac{1}{2}\), nên không có trường hợp hai phương trình trùng nhau.

Quay lại với phương trình \(x(1 – m) = 1 – 2m\)

Để hệ có vô số nghiệm, ta cần rơi vào dạng \(0x = 0\).

Điều này xảy ra khi cả hai vế của phương trình \(x(1 – m) = 1 – 2m\) đều bằng 0.

Tức là:

\(1 – m = 0 \implies m = 1\)

Và:

\(1 – 2m = 0 \implies 2m = 1 \implies m = \frac{1}{2}\)

Như đã phân tích ở trên, \(m\) không thể đồng thời bằng \(1\) và \(\frac{1}{2}\).

Xem xét lại cách hiểu về vô số nghiệm của hệ phương trình.

Hệ phương trình vô số nghiệm khi hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng.

Phương trình 1: \(x + y = 1\)

Phương trình 2: \(mx + y = 2m\)

Để hai đường thẳng trùng nhau, ta cần các hệ số tương ứng tỉ lệ với nhau.

\(\frac{1}{m} = \frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\)

Từ \(\frac{1}{m} = \frac{1}{1}\) suy ra \(m = 1\).

Từ \(\frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\) suy ra \(2m = 1 \implies m = \frac{1}{2}\).

Vì \(m\) không thể đồng thời nhận hai giá trị \(1\) và \(\frac{1}{2}\), nên trường hợp hai phương trình trùng nhau sẽ không xảy ra.

Tuy nhiên, có thể có cách hiểu khác về đề bài hoặc đề bài có thể có sự nhầm lẫn. Nếu đề bài hỏi về điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất hoặc vô nghiệm, thì ta sẽ có các điều kiện khác.

Giả sử đề bài đúng và yêu cầu tìm số giá trị của m để hệ có vô số nghiệm.

Chúng ta đã phân tích rằng điều kiện \(\frac{1}{m} = \frac{1}{1} = \frac{1}{2m}\) không thể đồng thời xảy ra.

Điều này dẫn đến kết luận rằng không có giá trị nào của m để hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Số giá trị của tham số m để hệ có vô số nghiệm là 0.

Kiểm tra lại bằng cách thử giá trị:

Nếu \(m = 1\):

\(
\begin{cases}
x + y = 1 \\
x + y = 2
\end{cases}
\)

Hệ này vô nghiệm vì \(1 \neq 2\).

Nếu \(m = \frac{1}{2}\):

\(
\begin{cases}
x + y = 1 \\
\frac{1}{2}x + y = 1
\end{cases}
\)

Trừ phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:

\((\frac{1}{2}x + y) – (x + y) = 1 – 1\)

\(-\frac{1}{2}x = 0 \implies x = 0\)

Thay \(x = 0\) vào phương trình thứ nhất: \(0 + y = 1 \implies y = 1\).

Hệ có nghiệm duy nhất là \((0, 1)\) khi \(m = \frac{1}{2}\).

Kết luận cuối cùng cho bài C2:

Dựa trên các phân tích, không có giá trị nào của m để hệ phương trình có vô số nghiệm. Do đó, số giá trị của tham số m là 0.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải hai bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!