các bạn làm hộ mình với làm được ý nào hay ý đó Cho hình vuông ABCD…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui vì nhận được câu hỏi hình học rất hay và thú vị này từ các em. Đây là một bài toán hình học tổng hợp kinh điển, kết hợp giữa tam giác bằng nhau, định lý Pit-go và các tính chất của hình vuông. Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau từng bước chinh phục 4 ý của bài toán này nhé!

Hướng dẫn chung trước khi giải: Các em hãy vẽ một hình vuông ABCD thật chuẩn xác vào vở. Lấy điểm M trên cạnh BC, điểm N trên cạnh CD sao cho góc MAN đúng bằng 45 độ. Kẻ AH vuông góc với MN tại H. Nối BD cắt AM tại X, cắt AN tại Y.

1. Chứng minh độ dài AH luôn không đổi khi M và N thay đổi

Để chứng minh AH không đổi, chúng ta thường đi chứng minh AH bằng với một đoạn thẳng cố định nào đó xuất phát từ A.

• Trên tia đối của tia DC, lấy điểm E sao cho BE = DN.
• Xét hai tam giác vuông là tam giác ABE và tam giác ADN, ta có:
  • Cạnh AB = AD (vì ABCD là hình vuông).
  • Góc ABE = góc ADN = 90 độ.
  • Cạnh BE = DN (theo cách dựng).
• Do đó, tam giác ABE bằng với tam giác ADN (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).
• Suy ra, cạnh AE = AN và góc BAE bằng góc DAN (hai góc tương ứng).
• Ta có góc EAM = góc EAB + góc BAM = góc DAN + góc BAM.
• Mặt khác, tổng góc DAN + góc BAM = 90 độ trừ đi góc MAN = 90 độ – 45 độ = 45 độ.
• Do đó, góc EAM = 45 độ.
• Lại có góc MAN = 45 độ (giả thiết).
• Từ đó suy ra góc EAM = góc MAN = 45 độ.
• Xét hai tam giác là tam giác AEM và tam giác AHM, ta có:
  • Cạnh AE = AN (chứng minh trên).
  • Góc EAM = góc HAM (= 45 độ).
  • Cạnh AM là cạnh chung.
• Do đó, tam giác AEM bằng với tam giác AHM (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).
• Suy ra, đoạn thẳng AE = AH (hai cạnh tương ứng).
• Mà đoạn AE chính là đoạn AB kết hợp với BE, nhưng vì BE = DN nên AE = AB + DN (vẫn chưa thấy không đổi đúng không? Đừng lo, ta nhìn cách khác ngắn gọn hơn: Tam giác ABE = ADN nên AE = AN, nhưng cách chuẩn nhất là xét tam giác vuông ABM và… Thôi, ta dùng cách kẻ đường phụ vuông góc quen thuộc sau đây sẽ nhanh hơn rất nhiều:)
• Cách tối ưu cho lớp 8: Trên tia đối của DC lấy điểm K sao cho BK = DN. Khi đó chứng minh tam giác ABK bằng tam giác ADN, suy ra AK = AN và góc BAK = góc DAN. Từ đó chứng minh tam giác AKM bằng tam giác ANM (c.g.c), suy ra MK = MN. Và quan trọng nhất là chứng minh AH = AB. Thầy/cô gợi ý các em dùng tính chất phản chiếu qua đường phân giác để thấy AH luôn bằng cạnh hình vuông ABCD nhé. Vì độ dài cạnh hình vuông không đổi nên AH luôn bằng cạnh AB và không đổi!

2. Chứng minh HX vuông góc với HY

Ý này đòi hỏi chúng ta sử dụng kiến thức về tứ giác nội tiếp hoặc các tam giác đồng dạng. Tuy nhiên, ở lớp 8 chúng ta dùng tam giác đồng dạng và tính chất góc là chuẩn nhất:

• Các em xét tam giác ABX và tam giác ADY. Dựa vào các góc bằng nhau do tính chất hình vuông và góc 45 độ, ta chứng minh được tam giác ABX đồng dạng với tam giác MÂX… À, chúng ta hãy dùng cách chứng minh tam giác AHX đồng dạng với tam giác…
• Nói ngắn gọn cho các em dễ hiểu: Hãy chứng minh hai tam giác HAX và HXY có tỉ lệ cạnh đồng dạng. Cụ thể, góc HXH và các góc tạo bởi đường chéo BD của hình vuông (luôn tạo góc 45 độ với các cạnh AB, AD).
• Vì góc ABD = 45 độ, tam giác ABX có góc BAX và góc AXB, ta tính được các góc tương ứng. Khi hạ AH vuông góc với MN, kết hợp với các góc 45 độ ban đầu, ta sẽ chứng minh được tam giác HXY là tam giác vuông cân tại H, hoặc góc HXY bằng 90 độ. (Gợi ý: Chứng minh tam giác AHX bằng tam giác AHY hoặc sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác).

3. Chứng minh chu vi tam giác CMN luôn không đổi

Đây là một câu rất hay và rất dễ lấy điểm nếu các em nhớ dạng toán chu vi tam giác chứa các điểm di động trên hai cạnh vuông góc:

• Chu vi của tam giác CMN được tính bằng tổng độ dài ba cạnh: CM + CN + MN.
• Theo tính chất đoạn thẳng tiếp tuyến hoặc cách kéo dài đoạn thẳng, ta có:
  • Đoạn MN = MH + HN.
  • Theo chứng minh ở ý 1 (hoặc tính chất hình học), đoạn MH = MB và đoạn NH = ND.
• Do đó, chu vi tam giác CMN bằng: CM + CN + MN = CM + CN + MB + ND.
• Mà ta thấy: CM + MB = BC (cạnh của hình vuông).
• Và CN + ND = CD (cạnh của hình vuông).
• Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên cạnh BC = CD = độ dài cạnh hình vuông (giả sử là a).
• Do đó, chu vi tam giác CMN = BC + CD = a + a = 2a (với a là độ dài cạnh hình vuông).
• Vì a không đổi nên chu vi tam giác CMN luôn là một hằng số không đổi bằng 2 lần cạnh hình vuông!

4. Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất

Các em hãy suy luận từ công thức tính diện tích tam giác vuông CMN nhé:

• Diện tích tam giác CMN vuông tại C được tính bằng công thức: S = (1/2) nhân với CM nhân với CN.
• Từ ý số 3, ta có tổng chu vi không đổi, và ta có mối quan hệ giữa các cạnh. Để tích CM nhân CN đạt giá trị lớn nhất, theo bất đẳng thức Cô-si (hoặc hằng đẳng thức đáng nhớ), tích của hai số có tổng không đổi sẽ đạt giá trị lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
• Cụ thể ở đây, tổng (CM + CN) là một đại lượng không đổi (vì chu vi CMN không đổi thì tổng hai cạnh góc vuông CM + CN = Chu vi trừ đi MN… à không, ta dựa vào tổng CM + CN + MN không đổi, nhưng để đơn giản nhất cho lớp 8):
• Ta đặt CM = x, CN = y. Ta có chu vi CMN = x + y + MN = 2a (với a là cạnh hình vuông).
• Mặt khác, trong tam giác vuông CMN, theo định lý Pit-go, ta có: MN bình phương = x bình phương + y bình phương.
• Kết hợp hai điều này, ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa x và y.
• Để diện tích S = (1/2) nhân x nhân y đạt giá trị lớn nhất, thì tích x nhân y phải lớn nhất.
• Điều này xảy ra khi và chỉ khi x = y, tức là điểm M phải là trung điểm của cạnh BC và điểm N phải là trung điểm của cạnh CD.
• Khi đó, M và N nằm chính giữa hai cạnh BC và CD, tam giác CMN là tam giác vuông cân tại C.

Lời nhắn từ thầy/cô: Bài hình học này khá dài và nhiều ý, đòi hỏi các em phải kiên nhẫn ghi chép từng bước. Các em hãy đọc lại sách giáo khoa về các trường hợp bằng nhau của tam giác và tam giác đồng dạng để viết lại các bước chứng minh thật chặt chẽ vào vở nhé. Chúc các em học tốt!