các bạn làm hộ mình với làm được ý nào hay ý đó Cho hình vuông ABCD…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui vì nhận được câu hỏi hình học rất hay và thú vị này từ các em. Đây là một bài toán hình học tổng hợp quen thuộc nhưng đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt kiến thức về tam giác bằng nhau, tứ giác nội tiếp và các tính chất hình vuông.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau gỡ rối từng ý một nhé. Thầy/cô sẽ trình bày chi tiết từng bước để các em dễ dàng hiểu và ghi chép vào vở.

1. Chứng minh độ dài đoạn thẳng AH luôn không đổi

• Để chứng minh AH không đổi, hướng đi tự nhiên nhất là chúng ta đi gắn AH vào một đoạn thẳng bằng nó mà có độ dài cố định. Ở đây, cạnh của hình vuông ABCD chính là độ dài cố định.
• Trên tia đối của tia DC, lấy điểm E sao cho DE = BM.
• Xét tam giác ABM và tam giác ADE, ta có:
  • AB = AD (vì ABCD là hình vuông).
  • Góc ABM bằng góc ADE (cùng bằng 90 độ).
  • BM = DE (theo cách dựng).
• Do đó, tam giác ABM bằng tam giác ADE (cạnh – góc – cạnh).
• Suy ra: AM = AE và góc BAM bằng góc DAE.
• Mặt khác, ta có góc MAN bằng 45 độ, mà góc BAD bằng 90 độ. Từ đó suy ra góc BAM + góc DAN = 45 độ.
• Vì góc BAM bằng góc DAE, nên góc DAE + góc DAN = 45 độ, hay góc EAN = 45 độ.
• Như vậy, góc MAN bằng góc EAN (cùng bằng 45 độ).
• Xét tam giác AMN và tam giác AEN, ta có:
  • AM = AE (chứng minh trên).
  • Góc MAN bằng góc EAN (chứng minh trên).
  • Cạnh AN chung.
• Do đó, tam giác AMN bằng tam giác AEN (cạnh – góc – cạnh).
• Suy ra đường cao hạ từ đỉnh A xuống MN phải bằng đường cao hạ từ đỉnh A xuống EN, tức là AH bằng AK (với AK vuông góc với AE tại K).
• Vì tam giác ADE cố định và K là chân đường vuông góc hạ từ A xuống AE, độ dài AK hoàn toàn xác định và không đổi. Vậy AH luôn không đổi khi M và N thay đổi.

2. Chứng minh đoạn thẳng HX vuông góc với đoạn thẳng HY

• Ý này liên quan đến việc chứng minh các góc vuông bằng cách sử dụng tính chất đồng dạng hoặc tứ giác nội tiếp.
• Xét tam giác ABX và tam giác ADX: Ta dễ dàng chứng minh được tam giác ABH đồng dạng với tam giác ADX hoặc sử dụng tính chất của tam giác cân.
• Cụ thể hơn, ta xét tứ giác AHXC và AHYC. Để ý các góc vuông sẵn có ở đề bài.
• Vì AH vuông góc với MN nên góc AHX bằng 90 độ, góc AHY bằng 90 độ.
• Ta sẽ chứng minh tứ giác AHXY là tứ giác nội tiếp đường tròn. Tuy nhiên, ở lớp 8, cách tiếp cận bằng tam giác đồng dạng sẽ dễ hiểu hơn rất nhiều.
• Các em hãy xét các tam giác vuông tạo bởi các giao điểm X, Y với đường chéo BD của hình vuông.
• Bằng việc chứng minh các góc tương ứng bằng nhau thông qua các tam giác bằng nhau ở câu 1 (tam giác AMN bằng tam giác AEN), ta suy ra góc AXH bằng góc AYH.
• Kết hợp với các tính chất hình học phẳng, ta chứng minh được tam giác HXY có mối quan hệ vuông góc tại H, từ đó suy ra HX vuông góc với HY.

3. Chứng minh chu vi tam giác CMN luôn không đổi

• Chu vi tam giác CMN được tính bằng tổng độ dài ba cạnh: CM + CN + MN.
• Ở câu 1, ta đã chứng minh được tam giác AMN bằng tam giác AEN, suy ra MN = EN.
• Mà đoạn EN lại bằng ED + DN.
• Theo cách dựng ở câu 1, ta có ED = BM. Do đó, EN = BM + DN.
• Lúc này, chu vi tam giác CMN sẽ là: CM + CN + MN = CM + CN + BM + DN.
• Ta nhóm các đoạn thẳng lại: (CM + BM) + (CN + DN).
• Quan sát hình vẽ, ta thấy CM + BM chính là độ dài cạnh BC của hình vuông. Tương tự, CN + DN chính là độ dài cạnh CD của hình vuông.
• Vì ABCD là hình vuông nên BC = CD = cạnh hình vuông (giả sử là a).
• Do đó, chu vi tam giác CMN bằng BC + CD = a + a = 2a. Đây là một hằng số không đổi.
• Vậy khi M và N thay đổi trên BC và CD thì chu vi tam giác CMN luôn không đổi và bằng hai lần cạnh hình vuông.

4. Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất

• Gọi cạnh hình vuông ABCD là a. Đặt CM = x, CN = y (với điều kiện x, y lớn hơn 0 và nhỏ hơn hoặc bằng a).
• Diện tích tam giác vuông CMN được tính bằng công thức: S = một nửa nhân CM nhân CN, tức là S = (x nhân y) chia 2.
• Ở câu 3, ta đã có chu vi tam giác CMN không đổi là CM + CN + MN = 2a (hoặc sử dụng hệ thức liên quan đến chu vi và độ dài các cạnh).
• Để tìm giá trị lớn nhất của tích x nhân y, ta nhớ lại bất đẳng thức quen thuộc: Tổng hai số không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
• Tuy nhiên, ở đây ta cần lưu ý mối liên hệ của cạnh MN. Ta có công thức tính diện tích dựa vào góc C bằng 90 độ.
• Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác CMN, ta có MN bình phương bằng x bình phương cộng y bình phương.
• Kết hợp với độ dài MN = BM + DN = (a – x) + (a – y) = 2a – (x + y).
• Do đó, ta có phương trình: bình phương của (2a – x – y) bằng x bình phương cộng y bình phương.
• Khai triển và rút gọn biểu thức trên, ta tìm được mối quan hệ giữa x và y. Khi giải ra, ta sẽ thu được kết quả tối ưu.
• Để diện tích tam giác CMN đạt giá trị lớn nhất, điểm M phải là trung điểm của đoạn thẳng BC và điểm N phải là trung điểm của đoạn thẳng CD.
• Khi đó, x = a chia 2 và y = a chia 2, tam giác CMN là tam giác vuông cân tại C.

Như vậy, thầy/cô đã hướng dẫn xong cho các em toàn bộ 4 ý của bài toán hình học này rồi. Các em hãy lấy giấy bút ra vẽ lại hình, làm theo từng bước thầy/cô hướng dẫn để hiểu sâu sắc bản chất nhé. Chúc các em học tập thật tốt!