Các em thân mến, khi học về tam giác vuông, chúng ta không chỉ quan tâm đến độ dài các cạnh mà còn có thể nghiên cứu mối quan hệ giữa các góc nhọn và độ dài các cạnh đó. Mối quan hệ này được biểu diễn thông qua các tỉ số lượng giác.

1. Định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Xét tam giác vuông ABC, vuông tại A.

Cạnh đối

của góc nhọn B là cạnh AC.


Cạnh kề

của góc nhọn B là cạnh AB.


Cạnh huyền

là cạnh BC.

Tương tự, với góc nhọn C:

Cạnh đối

của góc nhọn C là cạnh AB.


Cạnh kề

của góc nhọn C là cạnh AC.


Cạnh huyền

là cạnh BC.

Từ đó, ta có định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn như sau:

• 
  Sin (sinus)
  
  của một góc nhọn bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh huyền.
  
  Kí hiệu là sin.
  
  Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
  
  \( \sin B = \frac{\text{độ dài cạnh đối}}{\text{độ dài cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} \)
  
  \( \sin C = \frac{\text{độ dài cạnh đối}}{\text{độ dài cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} \)
• 
  Cos (cosinus)
  
  của một góc nhọn bằng tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh huyền.
  
  Kí hiệu là cos.
  
  Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
  
  \( \cos B = \frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} \)
  
  \( \cos C = \frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} \)
• 
  Tan (tangent)
  
  của một góc nhọn bằng tỉ số giữa độ dài cạnh đối và độ dài cạnh kề.
  
  Kí hiệu là tan.
  
  Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
  
  \( \tan B = \frac{\text{độ dài cạnh đối}}{\text{độ dài cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} \)
  
  \( \tan C = \frac{\text{độ dài cạnh đối}}{\text{độ dài cạnh kề}} = \frac{AB}{AC} \)
• 
  Cot (cotangent)
  
  của một góc nhọn bằng tỉ số giữa độ dài cạnh kề và độ dài cạnh đối.
  
  Kí hiệu là cot.
  
  Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
  
  \( \cot B = \frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh đối}} = \frac{AB}{AC} \)
  
  \( \cot C = \frac{\text{độ dài cạnh kề}}{\text{độ dài cạnh đối}} = \frac{AC}{AB} \)

Lưu ý quan trọng:

Mỗi tỉ số lượng giác chỉ được định nghĩa cho góc nhọn (nhỏ hơn 90 độ) trong tam giác vuông.

2. Mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác

Ta có các mối quan hệ sau:

• \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \)
• \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)
• \( \tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1 \)
• \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Đây là những công thức rất hữu ích để tính toán và suy luận.

3. Ví dụ minh họa

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, AC = 4cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

Lời giải:

Đầu tiên, ta cần tính độ dài cạnh huyền BC bằng định lý Pitago:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)

\( BC^2 = 3^2 + 4^2 \)

\( BC^2 = 9 + 16 \)

\( BC^2 = 25 \)

\( BC = \sqrt{25} = 5 \) cm

Bây giờ, ta tính các tỉ số lượng giác của góc B:

• \( \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} \)
• \( \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} \)
• \( \tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{3} \)
• \( \cot B = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \)

Tiếp theo, ta tính các tỉ số lượng giác của góc C:

• \( \sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} \)
  Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn