Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Các em chú ý lắng nghe và ghi chép đầy đủ nhé.

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A= \(x^2 – 4x +y^2 – 8y +6\)

Phân tích bài toán:

Đây là một biểu thức có chứa hai biến \(x\) và \(y\). Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta sẽ cố gắng đưa biểu thức về dạng tổng của các bình phương, vì bình phương của một số luôn không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử chứa \(x\) và các hạng tử chứa \(y\) lại với nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có biểu thức A:

A = \(x^2 – 4x + y^2 – 8y + 6\)

Nhóm các hạng tử theo biến:

A = \((x^2 – 4x) + (y^2 – 8y) + 6\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thêm bớt để hoàn thành bình phương cho từng nhóm.
Với nhóm \((x^2 – 4x)\), ta cần thêm \( (\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4 \).

Với nhóm \((y^2 – 8y)\), ta cần thêm \( (\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16 \).

Do đó, ta viết lại biểu thức như sau:

A = \((x^2 – 4x + 4) – 4 + (y^2 – 8y + 16) – 16 + 6\)

Áp dụng hằng đẳng thức \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), ta có:

A = \((x – 2)^2 – 4 + (y – 4)^2 – 16 + 6\)

Gom các hằng số lại:

A = \((x – 2)^2 + (y – 4)^2 – 4 – 16 + 6\)

A = \((x – 2)^2 + (y – 4)^2 – 14\)

Vì \((x – 2)^2 \ge 0\) với mọi \(x\) và \((y – 4)^2 \ge 0\) với mọi \(y\), nên:

\((x – 2)^2 + (y – 4)^2 \ge 0\)

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \((x – 2)^2 + (y – 4)^2\) là 0.

Điều này xảy ra khi \(x – 2 = 0\) (tức là \(x = 2\)) và \(y – 4 = 0\) (tức là \(y = 4\)).

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là:

A_min = \(0 + 0 – 14 = -14\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -14, đạt được khi \(x = 2\) và \(y = 4\).

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B = \((2x – 1 )(x +2 )(2x + 1)(x + 3)\)

Phân tích bài toán:

Biểu thức này có vẻ phức tạp hơn một chút. Chúng ta cần sắp xếp lại các nhân tử để nhóm chúng lại theo một cách hợp lý, tạo ra các biểu thức giống nhau hoặc có mối liên hệ với nhau.

Chúng ta sẽ thử nhân các cặp nhân tử lại với nhau và xem kết quả.

Lời giải chi tiết:

Ta có biểu thức B:

B = \((2x – 1 )(x +2 )(2x + 1)(x + 3)\)

Nhận thấy \((2x – 1)(2x + 1)\) là hằng đẳng thức \((a-b)(a+b) = a^2 – b^2\).

Nhóm lại các nhân tử:

B = \([(2x – 1 )(2x + 1)] \cdot [(x +2 )(x + 3)]\)

Thực hiện phép nhân trong từng nhóm:

B = \(( (2x)^2 – 1^2 ) \cdot (x^2 + 3x + 2x + 6)\)

B = \((4x^2 – 1) \cdot (x^2 + 5x + 6)\)

Bây giờ, ta thử nhóm lại theo một cách khác để tạo ra sự tương đồng.

Hãy thử nhóm \((2x – 1)\) với \((x + 3)\) và \((2x + 1)\) với \((x + 2)\).

B = \([(2x – 1)(x + 3)] \cdot [(2x + 1)(x + 2)]\)

Thực hiện phép nhân:

Nhóm 1: \((2x – 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x – x – 3 = 2x^2 + 5x – 3\)

Nhóm 2: \((2x + 1)(x + 2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2\)

Vậy, biểu thức B trở thành:

B = \((2x^2 + 5x – 3)(2x^2 + 5x + 2)\)

Đặt \(t = 2x^2 + 5x\). Khi đó, biểu thức B trở thành:

B = \((t – 3)(t + 2)\)

Khai triển biểu thức này theo \(t\):

B = \(t^2 + 2t – 3t – 6\)

B = \(t^2 – t – 6\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai theo \(t\). Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho biểu thức này.

B = \((t^2 – t) – 6\)

Để hoàn thành bình phương cho \(t^2 – t\), ta thêm bớt \( (\frac{-1}{2})^2 = \frac{1}{4} \).

B = \((t^2 – t + \frac{1}{4}) – \frac{1}{4} – 6\)

B = \((t – \frac{1}{2})^2 – \frac{1}{4} – \frac{24}{4}\)

B = \((t – \frac{1}{2})^2 – \frac{25}{4}\)

Vì \((t – \frac{1}{2})^2 \ge 0\) với mọi \(t\), nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức \((t – \frac{1}{2})^2\) là 0.

Điều này xảy ra khi \(t – \frac{1}{2} = 0\), tức là \(t = \frac{1}{2}\).

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là:

B_min = \(0 – \frac{25}{4} = -\frac{25}{4}\)

Kiểm tra điều kiện của \(t\):

Chúng ta cần đảm bảo rằng tồn tại giá trị \(x\) sao cho \(t = 2x^2 + 5x = \frac{1}{2}\).

Ta có phương trình: \(2x^2 + 5x = \frac{1}{2}\)

Nhân cả hai vế với 2:

\(4x^2 + 10x = 1\)

\(4x^2 + 10x – 1 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Để kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không, ta tính biệt thức \(\Delta\).

\(\Delta = b^2 – 4ac = 10^2 – 4(4)(-1) = 100 + 16 = 116\)

Vì \(\Delta = 116 > 0\), phương trình này có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là tồn tại các giá trị của \(x\) để \(t = \frac{1}{2}\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là \(-\frac{25}{4}\).

Các em thấy không, việc phân tích, nhóm các hạng tử và sử dụng hằng đẳng thức là rất quan trọng trong giải toán. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững hơn nhé!