Chào các em học sinh lớp 5 yêu quý! Hôm nay, cô giáo sẽ hướng dẫn chúng ta giải chi tiết hai bài toán về phân số rất thú vị nhé. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước làm của cô giáo để mình hiểu bài thật kỹ nha!

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) \(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243}\)

Để giải bài này, chúng ta sẽ đưa tất cả các phân số về cùng một mẫu số. Các em nhìn xem, mẫu số của các phân số là 3, 9, 27, 81, 243. Chúng ta thấy 243 là số lớn nhất và nó cũng là bội số của 3, 9, 27, 81.

Vậy, chúng ta sẽ chọn 243 làm mẫu số chung nhé!

Cách làm:

Đầu tiên, chúng ta sẽ biến đổi từng số hạng thành phân số có mẫu số là 243:

\(1 = \frac{243}{243}\)

\(\frac{1}{3} = \frac{1 \times 81}{3 \times 81} = \frac{81}{243}\) (Vì \(243 \div 3 = 81\))

\(\frac{1}{9} = \frac{1 \times 27}{9 \times 27} = \frac{27}{243}\) (Vì \(243 \div 9 = 27\))

\(\frac{1}{27} = \frac{1 \times 9}{27 \times 9} = \frac{9}{243}\) (Vì \(243 \div 27 = 9\))

\(\frac{1}{81} = \frac{1 \times 3}{81 \times 3} = \frac{3}{243}\) (Vì \(243 \div 81 = 3\))

Và phân số cuối cùng là \(\frac{1}{243}\) (đã có mẫu số 243 rồi)

Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các tử số lại với nhau:

\(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243}\)
\( = \frac{243}{243} + \frac{81}{243} + \frac{27}{243} + \frac{9}{243} + \frac{3}{243} + \frac{1}{243}\)
\( = \frac{243 + 81 + 27 + 9 + 3 + 1}{243}\)
\( = \frac{324 + 27 + 9 + 3 + 1}{243}\)
\( = \frac{351 + 9 + 3 + 1}{243}\)
\( = \frac{360 + 3 + 1}{243}\)
\( = \frac{363 + 1}{243}\)
\( = \frac{364}{243}\)

Chúng ta thấy phân số \(\frac{364}{243}\) không thể rút gọn được nữa (vì 243 chỉ chia hết cho 3, còn 364 thì không chia hết cho 3, \(3+6+4=13\)).

Đáp số:
\(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} = \frac{364}{243}\)

b) \( ( 1-\frac{1}{6} ) \times ( 1-\frac{1}{5} ) \times ( 1-\frac{1}{4} ) \times (1-\frac{1}{4} ) \times ( 1-\frac{1}{3} ) \times ( 1-\frac{1}{2} ) \)

Ở bài toán này, chúng ta thấy có các phép trừ trong ngoặc và sau đó là phép nhân. Với dạng bài này, chúng ta sẽ thực hiện phép trừ trong từng dấu ngoặc trước, sau đó mới nhân các kết quả lại với nhau.

Cách làm:

Bước 1: Tính giá trị của từng phép trừ trong ngoặc:

\(1 – \frac{1}{6} = \frac{6}{6} – \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)

\(1 – \frac{1}{5} = \frac{5}{5} – \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)

\(1 – \frac{1}{4} = \frac{4}{4} – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

Phép tính tiếp theo cũng là \(1 – \frac{1}{4}\), nên kết quả vẫn là \(\frac{3}{4}\)

\(1 – \frac{1}{3} = \frac{3}{3} – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

\(1 – \frac{1}{2} = \frac{2}{2} – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

Bước 2: Thay các kết quả vừa tính vào biểu thức và thực hiện phép nhân:

Biểu thức trở thành:
\(\frac{5}{6} \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{2}\)

Để phép nhân các phân số được dễ dàng, chúng ta có thể rút gọn bằng cách triệt tiêu các số giống nhau ở tử số và mẫu số. Các em nhìn kỹ nhé:

\(\frac{\cancel{5}}{6} \times \frac{4}{\cancel{5}} \times \frac{3}{\cancel{4}} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{\cancel{3}} \times \frac{1}{2}\)

Chúng ta có thể triệt tiêu lần lượt như sau:

• Số 5 ở tử số của phân số thứ nhất và số 5 ở mẫu số của phân số thứ hai.
• Số 4 ở tử số của phân số thứ hai và số 4 ở mẫu số của phân số thứ ba.
• Số 3 ở tử số của phân số thứ ba và số 3 ở mẫu số của phân số thứ năm.
• Số 2 ở tử số của phân số thứ năm và số 2 ở mẫu số của phân số thứ sáu.

Sau khi triệt tiêu, chúng ta còn lại các số sau:

Tử số còn: \(1 \times 1 \times 1 \times 3 \times 1 \times 1 = 3\)

Mẫu số còn: \(6 \times 1 \times 1 \times 4 \times 1 \times 1 = 24\)

Vậy, kết quả là \(\frac{3}{24}\)

Bước 3: Rút gọn phân số (nếu có thể):

Phân số \(\frac{3}{24}\) có thể rút gọn được bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho 3:

\(\frac{3 \div 3}{24 \div 3} = \frac{1}{8}\)

Đáp số:
\( ( 1-\frac{1}{6} ) \times ( 1-\frac{1}{5} ) \times ( 1-\frac{1}{4} ) \times (1-\frac{1}{4} ) \times ( 1-\frac{1}{3} ) \times ( 1-\frac{1}{2} ) = \frac{1}{8}\)

Các em thấy không, bài toán về phân số rất hay phải không nào? Chỉ cần chúng ta nắm vững cách quy đồng mẫu số, cách rút gọn phân số và thứ tự thực hiện các phép tính là có thể giải được mọi bài toán khó rồi. Cố gắng luyện tập thật nhiều nhé!