Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán hình học không gian thú vị. Đây là những dạng bài cơ bản nhưng rất quan trọng để củng cố kiến thức về giao tuyến, giao điểm và các yếu tố trong không gian. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bài 1: Tìm số điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (CMN)

Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD. Tìm số điểm chung của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((CMN)\).

Phân tích và hướng dẫn giải:

Để tìm số điểm chung của hai mặt phẳng, chúng ta cần tìm giao tuyến của chúng. Giao tuyến của hai mặt phẳng (nếu chúng không song song và không trùng nhau) là một đường thẳng. Một đường thẳng thì có vô số điểm.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các điểm chung dễ thấy của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((CMN)\).

• Điểm C:

Ta thấy rằng điểm C là một đỉnh của tứ giác ABCD, do đó điểm C nằm trong mặt phẳng \((BCD)\).
Mặt khác, điểm C cũng là một trong ba điểm tạo nên mặt phẳng \((CMN)\).
Vì vậy, điểm C là một điểm chung của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((CMN)\).

• Điểm N:

Theo đề bài, N là trung điểm của cạnh CD. Điều này có nghĩa là N nằm trên đoạn thẳng CD. Vì đoạn thẳng CD nằm trong mặt phẳng \((BCD)\), nên điểm N cũng thuộc mặt phẳng \((BCD)\).
Tương tự như điểm C, điểm N cũng là một trong ba điểm tạo nên mặt phẳng \((CMN)\).
Vì vậy, điểm N là một điểm chung khác của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((CMN)\).

Bước 2: Kết luận về giao tuyến.

Chúng ta đã tìm được hai điểm chung phân biệt là C và N của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((CMN)\).

Theo tính chất cơ bản trong hình học không gian: “Nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt, thì đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó”.

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((BCD)\) và mặt phẳng \((CMN)\) chính là đường thẳng CN.

Bước 3: Xác định số điểm chung.

Một đường thẳng bao gồm vô số điểm.

Kết luận:

Vậy, số điểm chung của hai mặt phẳng \((BCD)\) và \((CMN)\) là vô số điểm.

Bài 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG)

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang \((AB//CD)\). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và BC, G là trọng tâm tam giác SAB. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((IJG)\).

Phân tích và hướng dẫn giải:

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chúng ta cần tìm hai điểm chung phân biệt của chúng. Đường thẳng đi qua hai điểm chung đó chính là giao tuyến cần tìm.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((IJG)\).

• Điểm I:

Theo đề bài, I là trung điểm của cạnh AB. Điều này có nghĩa là điểm I nằm trên đoạn thẳng AB. Vì đoạn thẳng AB nằm trong mặt phẳng \((SAB)\), nên điểm I thuộc mặt phẳng \((SAB)\).
Mặt khác, điểm I là một trong ba điểm tạo nên mặt phẳng \((IJG)\).
Vì vậy, điểm I là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((IJG)\).

Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((IJG)\).

• Điểm G:

Theo đề bài, G là trọng tâm của tam giác SAB. Theo định nghĩa, trọng tâm của một tam giác luôn nằm trong mặt phẳng chứa tam giác đó.
Do đó, điểm G nằm trong mặt phẳng \((SAB)\).
Mặt khác, điểm G là một trong ba điểm tạo nên mặt phẳng \((IJG)\).
Vì vậy, điểm G là một điểm chung khác của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((IJG)\).

Bước 3: Kết luận về giao tuyến.

Chúng ta đã tìm được hai điểm chung phân biệt là I và G của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((IJG)\).

Theo tính chất cơ bản trong hình học không gian: “Nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung phân biệt, thì đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là giao tuyến của hai mặt phẳng đó”.

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) và mặt phẳng \((IJG)\) chính là đường thẳng IG.

Kết luận:

Vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((IJG)\) là đường thẳng IG.

Hy vọng qua hai bài tập này, các em đã củng cố thêm kiến thức về cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!

Chúc các em học tốt!