Chào các em học sinh lớp 11!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết một bài tập về dao động điều hòa của con lắc lò xo. Đây là một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa như li độ, vận tốc và gia tốc.

Đề bài của chúng ta là:

Câu 1. Một con lắc lò xo (gồm vật nặng có khối lượng m, lò xo có độ cứng k) dao động điều hòa với phương trình dao động \(x = 4\cos(5\pi t + \pi/3)\). Biết rằng trong 5 giây con lắc thực hiện được 4 dao động toàn phần. Lấy \(\pi^2 = 10\).
Yêu cầu:
a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật.
b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 4s\).
c) Tính Vận tốc, gia tốc của vật khi vật qua vị trí có li độ \(x=2cm\).

Trước khi bắt đầu giải, thầy muốn các em lưu ý một chi tiết nhỏ trong đề bài. Phương trình li độ cho ta biết tần số góc của dao động là \(\omega = 5\pi\) rad/s. Từ đó, chu kì của dao động là \(T = 2\pi/\omega = 2\pi/(5\pi) = 0.4\) s. Điều này có nghĩa là trong 5 giây, con lắc sẽ thực hiện được \(N = t/T = 5/0.4 = 12.5\) dao động. Tuy nhiên, đề bài lại nói “trong 5 giây con lắc thực hiện được 4 dao động toàn phần”. Có vẻ như có một sự không nhất quán nhỏ trong phần thông tin bổ sung này. Để đảm bảo tính chính xác và bám sát phương trình chính đã cho, chúng ta sẽ ưu tiên sử dụng giá trị tần số góc \(\omega = 5\pi\) rad/s đã được thể hiện rõ trong phương trình li độ nhé!

Giải chi tiết:

Từ phương trình li độ của vật: \(x = 4\cos(5\pi t + \pi/3)\) cm

Chúng ta có thể suy ra các thông số sau:

• Biên độ dao động: \(A = 4\) cm
• Tần số góc: \(\omega = 5\pi\) rad/s
• Pha ban đầu: \(\phi = \pi/3\) rad

a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật.

i) Phương trình vận tốc:

Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: \(v = \frac{dx}{dt}\).

Ta có: \(x = A\cos(\omega t + \phi)\)
\(\Rightarrow v = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\)

Thay các giá trị \(A = 4\) cm và \(\omega = 5\pi\) rad/s vào, ta được:

\(v = -4 \cdot (5\pi) \sin(5\pi t + \pi/3)\)
\(\mathbf{v = -20\pi \sin(5\pi t + \pi/3)}\) (cm/s)

ii) Phương trình gia tốc:

Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian, hoặc có thể tính theo công thức \(a = -\omega^2 x\).

Sử dụng công thức \(a = -\omega^2 x\):

\(a = -(5\pi)^2 \cdot 4\cos(5\pi t + \pi/3)\)
\(a = -25\pi^2 \cdot 4\cos(5\pi t + \pi/3)\)
\(\mathbf{a = -100\pi^2 \cos(5\pi t + \pi/3)}\) (cm/s²)

(Lưu ý: Chúng ta sẽ chỉ thay \(\pi^2 = 10\) khi tính giá trị cụ thể, không thay vào phương trình tổng quát).

b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm \(t = 4s\).

Tại thời điểm \(t = 4s\), chúng ta thay \(t = 4\) vào các phương trình đã có.

i) Li độ (\(x\)) tại \(t = 4s\):

\(x(4) = 4\cos(5\pi \cdot 4 + \pi/3)\)
\(x(4) = 4\cos(20\pi + \pi/3)\)

Vì hàm \(\cos\) có chu kì \(2\pi\), nên \(\cos(20\pi + \pi/3) = \cos(\pi/3)\).

\(x(4) = 4\cos(\pi/3)\)
\(x(4) = 4 \cdot (1/2)\)
\(\mathbf{x(4) = 2}\) cm

ii) Vận tốc (\(v\)) tại \(t = 4s\):

\(v(4) = -20\pi \sin(5\pi \cdot 4 + \pi/3)\)
\(v(4) = -20\pi \sin(20\pi + \pi/3)\)

Tương tự, \(\sin(20\pi + \pi/3) = \sin(\pi/3)\).

\(v(4) = -20\pi \sin(\pi/3)\)
\(v(4) = -20\pi \cdot (\sqrt{3}/2)\)
\(\mathbf{v(4) = -10\pi\sqrt{3}}\) cm/s

Nếu làm tròn với \(\pi \approx 3.14\), \(\sqrt{3} \approx 1.732\):
\(v(4) \approx -10 \cdot 3.14 \cdot 1.732 \approx -54.4\) cm/s

iii) Gia tốc (\(a\)) tại \(t = 4s\):

\(a(4) = -100\pi^2 \cos(5\pi \cdot 4 + \pi/3)\)
\(a(4) = -100\pi^2 \cos(20\pi + \pi/3)\)
\(a(4) = -100\pi^2 \cos(\pi/3)\)
\(a(4) = -100\pi^2 \cdot (1/2)\)
\(\mathbf{a(4) = -50\pi^2}\) cm/s²

Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng giá trị \(\pi^2 = 10\) theo đề bài để tính giá trị cụ thể:

\(a(4) = -50 \cdot 10\)
\(\mathbf{a(4) = -500}\) cm/s²

c) Tính Vận tốc, gia tốc của vật khi vật qua vị trí có li độ \(x=2cm\).

i) Vận tốc (\(v\)) khi \(x = 2cm\):

Chúng ta sử dụng công thức liên hệ giữa vận tốc và li độ trong dao động điều hòa:
\(v = \pm \omega \sqrt{A^2 – x^2}\)

Với \(A = 4\) cm, \(\omega = 5\pi\) rad/s, và \(x = 2\) cm:

\(v = \pm 5\pi \sqrt{4^2 – 2^2}\)
\(v = \pm 5\pi \sqrt{16 – 4}\)
\(v = \pm 5\pi \sqrt{12}\)
\(v = \pm 5\pi \cdot 2\sqrt{3}\)
\(\mathbf{v = \pm 10\pi\sqrt{3}}\) cm/s

(Lưu ý: Vật có thể đi qua li độ \(x=2cm\) theo chiều dương hoặc chiều âm, nên vận tốc có thể dương hoặc âm).

Nếu làm tròn: \(v \approx \pm 54.4\) cm/s

ii) Gia tốc (\(a\)) khi \(x = 2cm\):

Chúng ta sử dụng công thức liên hệ giữa gia tốc và li độ trong dao động điều hòa:
\(a = -\omega^2 x\)

Với \(\omega = 5\pi\) rad/s và \(x = 2\) cm:

\(a = -(5\pi)^2 \cdot 2\)
\(a = -25\pi^2 \cdot 2\)
\(\mathbf{a = -50\pi^2}\) cm/s²

Sử dụng giá trị \(\pi^2 = 10\) theo đề bài:

\(a = -50 \cdot 10\)
\(\mathbf{a = -500}\) cm/s²

Như vậy, qua bài tập này, chúng ta đã ôn lại cách viết phương trình vận tốc, gia tốc từ phương trình li độ, cách tính các đại lượng này tại một thời điểm cụ thể và tại một vị trí li độ cho trước. Các em nhớ rằng việc nắm vững các công thức và biết cách áp dụng chúng linh hoạt là chìa khóa để giải quyết các bài toán dao động điều hòa.

Các em có câu hỏi nào không?