Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán rất hay và thực tế nhé. Đây là những dạng bài tập không chỉ giúp các em ôn luyện kiến thức về phương trình, hàm số mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic nữa đấy.

Chúng ta hãy cùng bắt đầu nào!

Bài 1: Giải bài toán về tính toán lãi lỗ

Đề bài: Một người bán hàng tính toán rằng: nếu bán lô cà chua với mức giá 30 nghìn đồng/kg thì toàn bộ lô hàng sẽ bị lỗ 450 nghìn đồng. Tuy nhiên, nếu bán với mức giá 45 nghìn đồng/kg thì toàn bộ lọ hàng sẽ thu được lãi 600 nghìn đồng. Hỏi người bán có tất cả bao nhiêu kilogam(kg) cà chua?

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập phương trình. Ý tưởng chính là tổng giá vốn của lô cà chua là không đổi.

Bước 1: Đặt ẩn số

Gọi số kilogam cà chua mà người bán có là \(x\) (kg), với \(x > 0\).

Gọi tổng giá vốn của toàn bộ lô cà chua là \(C\) (nghìn đồng).

Bước 2: Lập các phương trình dựa trên dữ kiện đề bài

Trường hợp 1: Bán với mức giá 30 nghìn đồng/kg thì lỗ 450 nghìn đồng.

Tổng số tiền thu được khi bán là: \(30x\) (nghìn đồng).

Vì bị lỗ 450 nghìn đồng, nghĩa là giá vốn cao hơn số tiền thu được. Ta có phương trình:

\(C – 30x = 450\) (1)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn giá vốn \(C\) theo \(x\):

\(C = 30x + 450\)

Trường hợp 2: Bán với mức giá 45 nghìn đồng/kg thì lãi 600 nghìn đồng.

Tổng số tiền thu được khi bán là: \(45x\) (nghìn đồng).

Vì lãi 600 nghìn đồng, nghĩa là số tiền thu được cao hơn giá vốn. Ta có phương trình:

\(45x – C = 600\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta đã có \(C = 30x + 450\) từ trường hợp 1. Bây giờ chúng ta sẽ thế biểu thức của \(C\) này vào phương trình (2):

\(45x – (30x + 450) = 600\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình này để tìm \(x\):

\(45x – 30x – 450 = 600\)

\(15x – 450 = 600\)

\(15x = 600 + 450\)

\(15x = 1050\)

\(x = \frac{1050}{15}\)

\(x = 70\)

Bước 4: Kiểm tra và kết luận

Số kilogam cà chua là 70 kg, thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).

Nếu muốn, các em có thể tính giá vốn \(C\) để kiểm tra lại:

\(C = 30 \times 70 + 450 = 2100 + 450 = 2550\) (nghìn đồng).

Vậy, giá vốn của lô cà chua là 2550 nghìn đồng.

Kiểm tra lại:

• Bán 30 nghìn/kg: \(30 \times 70 = 2100\) (nghìn đồng). Lỗ: \(2550 – 2100 = 450\) (nghìn đồng). (Đúng!)
• Bán 45 nghìn/kg: \(45 \times 70 = 3150\) (nghìn đồng). Lãi: \(3150 – 2550 = 600\) (nghìn đồng). (Đúng!)

Vậy, người bán có tất cả 70 kilogam cà chua.

Bài 2: Giải bài toán về hàm số bậc nhất trong thực tế

Đề bài: Chỉ số nhiệt (heat index) biểu thị nhiệt độ cảm nhận thực tế của cơ thể con người, được tính toán dựa trên nhiệt độ không khí và độ ẩm tương đối. Tại một trạm khí tượng ở Hà Nội, trong một ngày hè có mức nhiệt độ không khí không đổi, chỉ số nhiệt H( đơn vị độ C) được mô hình hóa như một hàm số bậc nhất theo độ ẩm x (đơn vị: %): \(H(x) = kx + d\)
Qua đo đạc thực thế, trạm ghi nhận được: khi độ ẩm là 55% thì chỉ số nhiệt là 29 độ C, và khi độ ẩm tăng lên 77% thì chỉ số nhiệt là 32 độ C. Dựa vào mô hình hàm số trên, hãy tính chỉ số nhiệt cảm nhận được khi độ ẩm đạt mức 88%( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải chi tiết:

Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm ra hàm số bậc nhất \(H(x) = kx + d\) và sau đó sử dụng nó để tính giá trị \(H\) khi biết \(x\).

Bước 1: Lập hệ phương trình

Theo đề bài, chỉ số nhiệt \(H\) được mô hình hóa là hàm số bậc nhất theo độ ẩm \(x\) dưới dạng \(H(x) = kx + d\).

Chúng ta có hai cặp giá trị \((x, H)\) đã được đo đạc:

• Khi độ ẩm \(x = 55\%\) thì chỉ số nhiệt \(H = 29^\circ C\).
  
  Thay vào công thức, ta có phương trình (1):
  
  \(29 = k \times 55 + d\)
  
  \(55k + d = 29\) (1)
• Khi độ ẩm \(x = 77\%\) thì chỉ số nhiệt \(H = 32^\circ C\).
  
  Thay vào công thức, ta có phương trình (2):
  
  \(32 = k \times 77 + d\)
  
  \(77k + d = 32\) (2)

Chúng ta có một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn \(k\) và \(d\):

\(\left\{ \begin{array}{l} 55k + d = 29 \\ 77k + d = 32 \end{array} \right.\)

Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm \(k\) và \(d\)

Để giải hệ này, chúng ta có thể trừ phương trình (1) cho phương trình (2) (hoặc ngược lại) để khử ẩn \(d\):

Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1):

\((77k + d) – (55k + d) = 32 – 29\)

\(77k – 55k = 3\)

\(22k = 3\)

\(k = \frac{3}{22}\)

Bây giờ, chúng ta thay giá trị của \(k\) vào phương trình (1) để tìm \(d\):

\(55 \times \frac{3}{22} + d = 29\)

Rút gọn \(\frac{55}{22} = \frac{5 \times 11}{2 \times 11} = \frac{5}{2}\):

\(\frac{5}{2} \times 3 + d = 29\)

\(\frac{15}{2} + d = 29\)

\(7.5 + d = 29\)

\(d = 29 – 7.5\)

\(d = 21.5\)

Bước 3: Viết lại hàm số \(H(x)\) và tính giá trị cần tìm

Với \(k = \frac{3}{22}\) và \(d = 21.5\), hàm số mô hình chỉ số nhiệt \(H(x)\) là:

\(H(x) = \frac{3}{22}x + 21.5\)

Đề bài yêu cầu tính chỉ số nhiệt cảm nhận được khi độ ẩm đạt mức 88%, tức là tính \(H(88)\):

\(H(88) = \frac{3}{22} \times 88 + 21.5\)

\(H(88) = 3 \times \frac{88}{22} + 21.5\)

\(H(88) = 3 \times 4 + 21.5\)

\(H(88) = 12 + 21.5\)

\(H(88) = 33.5\)

Bước 4: Làm tròn kết quả

Kết quả là \(33.5\). Yêu cầu làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất. Kết quả của chúng ta đã chính xác đến chữ số thập phân thứ nhất.

Vậy, khi độ ẩm đạt mức 88%, chỉ số nhiệt cảm nhận được là 33.5 độ C.

Các em thấy đấy, toán học không chỉ là những con số khô khan mà còn giúp chúng ta giải quyết rất nhiều vấn đề thực tế trong cuộc sống. Hãy luôn cố gắng và yêu thích môn Toán nhé!

Chúc các em học tốt!