Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất thú vị về dao động điều hòa. Bài tập này yêu cầu chúng ta viết phương trình li độ, vận tốc, gia tốc và biểu diễn chúng trên cùng một đồ thị. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Viết phương trình li độ, vận tốc, gia tốc và vẽ trên cùng 1 đồ thị 3 đại lượng trên với biên độ 2cm, tần số góc 2 rad/s, pha ban đầu \(\frac{\pi}{6}\).

Phân tích đề bài:

Đề bài cho chúng ta các thông số của một dao động điều hòa:

• Biên độ: \(A = 2\) cm
• Tần số góc: \(\omega = 2\) rad/s
• Pha ban đầu: \(\varphi = \frac{\pi}{6}\)

Chúng ta cần tìm các phương trình của li độ, vận tốc, gia tốc và vẽ đồ thị của chúng.

1. Viết phương trình li độ:

Phương trình tổng quát của li độ trong dao động điều hòa là:

\(x = A \cos(\omega t + \varphi)\)

Thay các giá trị đã cho vào phương trình, ta có:

\(x = 2 \cos(2t + \frac{\pi}{6})\) (cm)

2. Viết phương trình vận tốc:

Vận tốc là đạo hàm của li độ theo thời gian:

\(v = x’ = \frac{dx}{dt}\)

Ta có:

\(v = \frac{d}{dt} [2 \cos(2t + \frac{\pi}{6})]\)

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm cosin: \((\cos u)’ = -u’ \sin u\), ở đây \(u = 2t + \frac{\pi}{6}\) và \(u’ = 2\).

\(v = 2 \cdot [- \sin(2t + \frac{\pi}{6}) \cdot 2]\)

\(v = -4 \sin(2t + \frac{\pi}{6})\) (cm/s)

Chúng ta có thể viết lại phương trình vận tốc dưới dạng cosin để dễ dàng so sánh với phương trình li độ và gia tốc. Sử dụng công thức \(\sin \alpha = \cos(\alpha – \frac{\pi}{2})\) hoặc \(\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} – \alpha)\).

\(v = -4 \cos(2t + \frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{2})\)

\(v = -4 \cos(2t – \frac{\pi}{3})\) (cm/s)

Hoặc:

\(v = 4 \cos(2t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2})\)

\(v = 4 \cos(2t + \frac{2\pi}{3})\) (cm/s)

Trong trường hợp này, để dễ dàng vẽ đồ thị, chúng ta thường sử dụng dạng có cùng pha ban đầu hoặc có mối quan hệ pha rõ ràng. Ta sẽ giữ nguyên dạng \(v = -4 \sin(2t + \frac{\pi}{6})\) hoặc chọn một dạng khác thuận tiện cho đồ thị.

Để tiện cho việc so sánh và vẽ đồ thị, chúng ta có thể biểu diễn vận tốc dưới dạng hàm cosin có pha lệch \(\frac{\pi}{2}\) so với li độ. Ta có mối liên hệ vận tốc và li độ là \(v = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)\) hoặc \(v = \omega A \cos(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2})\).

\(v = 2 \cdot 2 \cos(2t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2})\)

\(v = 4 \cos(2t + \frac{2\pi}{3})\) (cm/s)

3. Viết phương trình gia tốc:

Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian:

\(a = v’ = \frac{dv}{dt}\)

Ta có:

\(a = \frac{d}{dt} [-4 \sin(2t + \frac{\pi}{6})]\)

Sử dụng quy tắc đạo hàm của hàm sin: \((\sin u)’ = u’ \cos u\), ở đây \(u = 2t + \frac{\pi}{6}\) và \(u’ = 2\).

\(a = -4 \cdot [\cos(2t + \frac{\pi}{6}) \cdot 2]\)

\(a = -8 \cos(2t + \frac{\pi}{6})\) (cm/s²)

Ta thấy rằng gia tốc có dạng tỉ lệ với li độ và ngược dấu: \(a = -\omega^2 x\).

\(a = -(2^2) \cdot [2 \cos(2t + \frac{\pi}{6})]\)

\(a = -8 \cos(2t + \frac{\pi}{6})\) (cm/s²)

Tóm tắt các phương trình:

• Li độ: \(x(t) = 2 \cos(2t + \frac{\pi}{6})\) (cm)
• Vận tốc: \(v(t) = -4 \sin(2t + \frac{\pi}{6})\) (cm/s)
• Gia tốc: \(a(t) = -8 \cos(2t + \frac{\pi}{6})\) (cm/s²)

Để vẽ đồ thị trên cùng một trục, chúng ta cần lưu ý về biên độ và pha của từng đại lượng:

• Li độ \(x(t)\): Biên độ là 2 cm, pha ban đầu là \(\frac{\pi}{6}\).
• Vận tốc \(v(t)\): Có thể viết lại dưới dạng \(v(t) = 4 \cos(2t + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}) = 4 \cos(2t + \frac{2\pi}{3})\). Biên độ là 4 cm, pha ban đầu là \(\frac{2\pi}{3}\). Hoặc dưới dạng \(v(t) = -4 \sin(2t + \frac{\pi}{6})\).
• Gia tốc \(a(t)\): Biên độ là 8 cm/s², pha ban đầu là \(\frac{\pi}{6}\), và ngược dấu với li độ.

4. Vẽ đồ thị:

Để vẽ đồ thị trên cùng một trục tọa độ (trục hoành là thời gian t, trục tung là giá trị của các đại lượng), chúng ta cần chọn một khoảng thời gian đủ để thấy được một vài chu kỳ dao động. Chu kỳ dao động là \(T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{2} = \pi\) giây.

Ta sẽ xét trong khoảng thời gian từ \(t=0\) đến \(t=2\pi\) (hai chu kỳ).

Điểm đặc biệt tại \(t=0\):

• Li độ: \(x(0) = 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\) cm \(\approx 1.73\) cm
• Vận tốc: \(v(0) = -4 \sin(\frac{\pi}{6}) = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2\) cm/s
• Gia tốc: \(a(0) = -8 \cos(\frac{\pi}{6}) = -8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -4\sqrt{3}\) cm/s² \(\approx -6.93\) cm/s²

Các điểm cực trị và điểm đi qua gốc tọa độ:

Đối với li độ \(x(t) = 2 \cos(2t + \frac{\pi}{6})\):

• Cực đại: \(x = 2\) khi \(2t + \frac{\pi}{6} = 2k\pi \implies t = k\pi – \frac{\pi}{12}\).
• Cực tiểu: \(x = -2\) khi \(2t + \frac{\pi}{6} = (2k+1)\pi \implies t = k\pi + \frac{5\pi}{12}\).
• Đi qua gốc tọa độ \(x=0\): \(2 \cos(2t + \frac{\pi}{6}) = 0 \implies 2t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies t = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}\).

Đối với vận tốc \(v(t) = -4 \sin(2t + \frac{\pi}{6})\):

• Cực đại: \(v = 4\) khi \(-4 \sin(2t + \frac{\pi}{6}) = 4 \implies \sin(2t + \frac{\pi}{6}) = -1 \implies 2t + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies t = \frac{4\pi}{3} + k\pi\). (Lưu ý: Có thể có sai sót ở đây vì cần xem xét chính xác pha của sin)
• Kiểm tra lại vận tốc: \(v(t) = 4 \cos(2t + \frac{2\pi}{3})\).
• Cực đại: \(v = 4\) khi \(2t + \frac{2\pi}{3} = 2k\pi \implies t = k\pi – \frac{\pi}{3}\).
• Cực tiểu: \(v = -4\) khi \(2t + \frac{2\pi}{3} = (2k+1)\pi \implies t = k\pi + \frac{\pi}{6}\).
• Đi qua gốc tọa độ \(v=0\): \(4 \cos(2t + \frac{2\pi}{3}) = 0 \implies 2t + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies t = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}\).

Đối với gia tốc \(a(t) = -8 \cos(2t + \frac{\pi}{6})\):

• Cực đại: \(a = 8\) (không có, chỉ có cực đại âm)
• Cực đại âm: \(a = -8\) khi \(-8 \cos(2t + \frac{\pi}{6}) = -8 \implies \cos(2t + \frac{\pi}{6}) = 1 \implies 2t + \frac{\pi}{6} = 2k\pi \implies t = k\pi – \frac{\pi}{12}\). (Đây là thời điểm li độ cực đại dương)
• Cực đại dương: \(a = 8\) khi \(-8 \cos(2t + \frac{\pi}{6}) = 8 \implies \cos(2t + \frac{\pi}{6}) = -1 \implies 2t + \frac{\pi}{6} = \pi + 2k\pi \implies t = k\pi + \frac{5\pi}{12}\). (Đây là thời điểm li độ cực tiểu âm)
• Đi qua gốc tọa độ \(a=0\): \(-8 \cos(2t + \frac{\pi}{6}) = 0 \implies 2t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies t = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}\). (Giống như li độ)

Vẽ đồ thị:

Đồ thị của li độ, vận tốc và gia tốc sẽ là các đường hình sin hoặc cosin.

Đồ thị li độ \(x(t)\): Là một đường hình cosin, bắt đầu từ giá trị dương \(\sqrt{3}\) tại \(t=0\), đạt cực đại tại \(t = -\frac{\pi}{12}\) (ngoài phạm vi quan tâm ban đầu), đạt cực tiểu tại \(t = \frac{5\pi}{12}\), đi qua gốc tọa độ tại \(t = \frac{\pi}{3}\).

Đồ thị vận tốc \(v(t)\): Là một đường hình cosin (hoặc sin). Với \(v(t) = 4 \cos(2t + \frac{2\pi}{3})\), nó bắt đầu từ \(v(0) = -2\), đạt cực tiểu tại \(t = \frac{\pi}{6}\), đạt cực đại tại \(t = -\frac{\pi}{3}\).

Đồ thị gia tốc \(a(t)\): Là một đường hình cosin, ngược dấu với li độ. Bắt đầu từ \(a(0) = -4\sqrt{3}\), đạt cực đại âm tại \(t = -\frac{\pi}{12}\), đạt cực đại dương tại \(t = \frac{5\pi}{12}\), đi qua gốc tọa độ tại \(t = \frac{\pi}{3}\).

Lưu ý khi vẽ đồ thị:

• Trục hoành biểu diễn thời gian \(t\), đơn vị là giây (s). Nên chia các mốc thời gian quan trọng như 0, \(\frac{\pi}{12}\), \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(2\pi\)…
• Trục tung biểu diễn giá trị của li độ (cm), vận tốc (cm/s) và gia tốc (cm/s²). Do biên độ và giá trị tuyệt đối của các đại lượng này khác nhau, nên có thể sử dụng các thang đo khác nhau trên cùng trục tung hoặc vẽ riêng nhưng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
• Li độ có biên độ lớn nhất là 2.
• Vận tốc có biên độ lớn nhất là 4.
• Gia tốc có biên độ lớn nhất là 8.
• Đồ thị vận tốc và gia tốc luôn “nhanh pha” hơn li độ \(\frac{\pi}{2}\) và \(\pi\).

Vì không thể vẽ đồ thị trực tiếp trên định dạng văn bản này, các em hãy dùng thước, giấy, hoặc phần mềm vẽ đồ thị để tự vẽ dựa trên các phương trình và các điểm đặc biệt đã phân tích. Hãy nhớ quy ước về trục tọa độ và các đơn vị nhé!

Minh họa bằng cách mô tả hình dạng đồ thị:

Trên cùng một hệ trục tọa độ (t, giá trị):

Đồ thị li độ (màu xanh dương): Bắt đầu tại điểm \((0, \sqrt{3})\), giảm dần, đi qua gốc tọa độ tại \(t = \frac{\pi}{3}\), đạt cực tiểu tại \(t = \frac{5\pi}{12}\), tăng trở lại và quay về.

Đồ thị vận tốc (màu đỏ): Có biên độ lớn hơn li độ. Nếu dùng \(v(t) = 4 \cos(2t + \frac{2\pi}{3})\), đồ thị sẽ bắt đầu tại \((0, -2)\), giảm dần, đi qua gốc tọa độ tại \(t = -\frac{\pi}{12}\) (nếu xét về quá khứ), đạt cực tiểu tại \(t = \frac{\pi}{6}\), đạt cực đại tại \(t = -\frac{\pi}{3}\). Nếu dùng \(v(t) = -4 \sin(2t + \frac{\pi}{6})\), đồ thị sẽ bắt đầu tại \((0, -2)\), giảm dần, đi qua gốc tọa độ khi \(2t + \frac{\pi}{6} = \pi \implies t = \frac{5\pi}{12}\).

Đồ thị gia tốc (màu xanh lá cây): Có biên độ lớn nhất và luôn ngược pha với li độ. Bắt đầu tại \((0, -4\sqrt{3})\), giảm dần, đi qua gốc tọa độ tại \(t = \frac{\pi}{3}\), đạt cực đại dương tại \(t = \frac{5\pi}{12}\).

Các em có thể thấy mối quan hệ giữa ba đồ thị này: khi li độ ở cực đại thì gia tốc ở cực đại âm và vận tốc bằng 0 (hoặc ngược lại tùy thuộc vào pha). Khi li độ đi qua gốc tọa độ, vận tốc và gia tốc cũng đi qua gốc tọa độ, nhưng có sự lệch pha.

Hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách viết phương trình và vẽ đồ thị cho dao động điều hòa. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!