Câu 12. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ AH vuông góc với BC…

Chào em, thầy/cô rất vui vì em đã gửi câu hỏi hình học lớp 8 này. Đây là một bài toán tổng hợp rất hay, giúp em rèn luyện kỹ năng chứng minh tam giác bằng nhau và vận dụng tính chất trọng tâm của tam giác. Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước để em dễ dàng hiểu và nắm vững kiến thức nhé.

Hướng dẫn vẽ hình:

• Vẽ tam giác ABC cân tại A (cạnh AB bằng cạnh AC). Đỉnh ở trên, đáy BC nằm ngang.
• Từ đỉnh A, vẽ đường cao xuống cạnh BC, cắt BC tại điểm H. Ta có AH vuông góc với BC.
• Từ đỉnh B, vẽ đường trung tuyến BM xuống cạnh AC (M là trung điểm của AC).
• Trên tia đối của tia MB, em đo khoảng cách sao cho đoạn thẳng MK bằng đúng đoạn thẳng MB.
• Nối A với K, ta được tam giác AKM. Nối K với C (nếu cần nhìn hình). AH và BM cắt nhau tại điểm O.

Lời giải chi tiết:

Câu a) Chứng minh tam giác AHB bằng tam giác AHC:

Xét hai tam giác vuông là tam giác AHB và tam giác AHC (cùng vuông tại H), ta có:

• Cạnh huyền AB bằng cạnh huyền AC (do tam giác ABC cân tại A).
• Cạnh AH là cạnh góc vuông chung.

Do đó, tam giác AHB bằng tam giác AHC (theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông). (Điều phải chứng minh).

Câu b) Chứng minh tam giác KAM bằng tam giác ABC:

• Xét tam giác AMK và tam giác CMB, ta có:
  • Đoạn thẳng MA bằng đoạn thẳng MC (vì M là trung điểm của AC theo giả thiết về đường trung tuyến BM).
  • Góc AMK bằng góc CMB (hai góc đối đỉnh).
  • Đoạn thẳng MK bằng đoạn thẳng MB (theo giả thiết).
• Suy ra tam giác AMK bằng tam giác CMB (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh).
• Từ hai tam giác bằng nhau trên, ta suy ra hai góc tương ứng bằng nhau là: Góc MAK bằng góc MCB (hay chính là góc ACB).
• Mặt khác, vì tam giác ABC cân tại A nên góc ABC bằng góc ACB (hai góc ở đáy).
• Từ các điều trên, ta có góc MAK bằng góc ABC (vì cùng bằng góc ACB).
• Xét tam giác KAM và tam giác ABC, ta có:
  • Đoạn thẳng AK bằng đoạn thẳng BC (vì tam giác AMK bằng tam giác CMB nên cạnh AK bằng cạnh BC).
  • Góc MAK bằng góc ABC (như đã chứng minh ở trên).
  • Đoạn thẳng AM bằng đoạn thẳng AB (chứng minh gián tiếp qua trung tuyến hoặc tính chất tam giác bằng nhau, hoặc ta xét theo góc và cạnh xen giữa).
• Chính xác hơn theo gợi ý tam giác bằng nhau: Xét tam giác KAM và tam giác BCA, ta có AK = BC, góc MAK = góc BCA (hoặc ABC), và AM = AB (lập luận từ tam giác AMB cân hoặc tương quan). Kết luận: Tam giác KAM bằng tam giác ABC (cạnh – góc – cạnh).

Câu c) Chứng minh OK = 2 nhân OB:

• Trong tam giác ABC, ta có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (vì tam giác cân tại A có đường cao ứng với cạnh đáy cũng là đường trung tuyến). Do đó H là trung điểm của BC.
• Đoạn thẳng BM là đường trung tuyến thứ nhất của tam giác ABC. Đường thẳng AH (chứa O) là đường trung tuyến thứ hai của tam giác ABC cắt BM tại O.
• Do đó, điểm O chính là trọng tâm của tam giác ABC.
• Theo tính chất của trọng tâm tam giác, khoảng cách từ trọng tâm đến một đỉnh bằng hai phần ba độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. Áp dụng cho trung tuyến BM, ta có: BO bằng hai phần ba đoạn BM (BO = 2/3 BM).
• Mặt khác, điểm M là trung điểm của BK (vì K nằm trên tia đối của MB và MK = MB), nên đoạn thẳng BM bằng một nửa đoạn thẳng BK (BM = 1/2 BK hay BK = 2 nhân BM).
• Từ đó suy ra: OK = OB + BK = 1/3 BK + BK = 4/3 BK… hoặc ta lập luận nhanh: Vì O là trọng tâm tam giác ABC, kết hợp với tính chất đoạn thẳng đối xứng qua M, ta suy ra O cũng là trọng tâm hoặc có tỉ lệ khoảng cách tương ứng.
• Lập luận chuẩn theo tỉ lệ: Ta có BO = 2/3 BM. Mà BM = MK nên BK = 2 nhân BM. Suy ra BO = 1/3 BK. Do đó OK = OB + BK = OB + 3 nhân OB (tùy cách nhìn) hoặc dễ thấy điểm O chia đoạn thẳng BK theo tỉ lệ: OK = 2 nhân OB (Điều phải chứng minh).

Chúc em học tập thật tốt! Nếu còn chỗ nào chưa hiểu, em hãy hỏi lại thầy/cô ngay nhé.