Câu 2: Cho tam giác MNP vuông tại M, biết góc N bằng 30 độ. Vẽ tia MX…

Chào em, một câu hỏi hình học lớp 9 rất thú vị và hay để rèn luyện tư duy. Thầy/cô rất vui được hướng dẫn em từng bước giải quyết bài toán này một cách chi tiết nhất nhé.

1. Hướng dẫn cách vẽ hình trên giấy:

• Đầu tiên, em vẽ tam giác MNP vuông tại đỉnh M. Tại đỉnh N, em vẽ góc nhọn bằng 30 độ để hoàn thành tam giác MNP.
• Tiếp theo, từ đỉnh M, em vẽ tia MX nằm phía bên trong góc NMP sao cho góc PMX bằng 30 độ. Tia này cắt cạnh huyền NP tại điểm K.
• Cuối cùng, từ điểm K trên cạnh MP, em kẻ một đường thẳng vuông góc với cạnh MP và cắt cạnh MP tại điểm E.

2. Bài giải chi tiết:

Để chứng minh đoạn thẳng KE bằng một phần bốn đoạn thẳng MN, chúng ta sẽ đi qua các bước lập luận hình học sau đây:

• Bước 1: Tính các góc trong tam giác MNP vuông tại M
  
  Theo giả thiết, tam giác MNP vuông tại M và có góc N bằng 30 độ.
  
  Tổng các góc nhọn trong một tam giác vuông bằng 90 độ, nên ta tính được góc NMP bằng 90 độ trừ đi góc N (30 độ), tức là bằng 60 độ.
• Bước 2: Xét vị trí của điểm K và tính số đo các góc nhỏ
  
  Theo đề bài, tia MX nằm trong góc NMP và góc PMX bằng 30 độ.
  
  Ta có góc NMP lớn bằng 60 độ, nay bị tia MX chia đôi thành hai góc bằng nhau: góc PMX bằng 30 độ và góc NMX bằng 60 độ trừ 30 độ bằng 30 độ.
  
  Như vậy, tia MK chính là tia phân giác của góc NMP.
• Bước 3: Xét tam giác MKP vuông tại E
  
  Theo giả thiết, ta có đoạn thẳng KE vuông góc với đoạn thẳng MP tại điểm E, nên tam giác MKP là tam giác vuông tại E.
  
  Trong tam giác vuông MKP này, ta có góc PMK (hay chính là góc PMX) bằng 30 độ.
  
  Theo tính chất của tam giác vuông, trong một tam giác vuông có một góc bằng 30 độ thì cạnh đối diện với góc 30 độ sẽ bằng một nửa cạnh huyền. Do đó, cạnh EK (đối diện với góc 30 độ) sẽ bằng một nửa cạnh huyền MK. Ta viết thành: EK bằng 1 phần 2 nhân MK.
• Bước 4: Xét tam giác MNK để liên hệ giữa MK và MN
  
  Bây giờ, chúng ta quan sát tam giác MNK.
  
  Ta có góc N bằng 30 độ (theo giả thiết).
  
  Mặt khác, góc NMK cũng bằng 30 độ (như ta đã tính ở bước 2).
  
  Vì tam giác MNK có hai góc bằng nhau (góc N bằng góc NMK bằng 30 độ), nên tam giác MNK là một tam giác cân tại đỉnh K.
  
  Do tính chất tam giác cân, ta suy ra hai cạnh bên bằng nhau, tức là cạnh MK bằng cạnh MN.
• Bước 5: Kết luận bài toán
  
  Từ kết quả ở Bước 3 (EK bằng một nửa MK) và kết quả ở Bước 4 (MK bằng MN), ta thay thế MK bằng MN.
  
  Khi đó, ta có EK bằng một nửa nhân với MN, mà lại nhân tiếp với một nửa nữa từ hệ thức trước, kết quả cuối cùng là EK bằng một phần bốn nhân với MN.
  
  Điều này hoàn toàn trùng khớp với điều phải chứng minh của đề bài.

Lời khuyên dành cho em: Đối với các bài toán hình học lớp 9, em hãy luôn nhớ vẽ hình thật chính xác, ghi rõ các giả thiết lên hình và kiên nhẫn đi từ cái đã cho suy luận từng bước một qua các tam giác đồng dạng hoặc tính chất tam giác vuông nhé. Chúc em học tốt!