Chúng ta sẽ đi qua từng phương án một để kiểm tra tính đúng sai của chúng.

Dữ kiện bài toán:
* Độ cứng của lò xo: \(k = 100\) N/m
* Khối lượng vật nặng: \(m = 400\) g = \(0.4\) kg
* Gốc thời gian: lúc thả vật
* Chiều dương: hướng xuống
* Gia tốc trọng trường: \(g = \pi^2 = 10\) m/s\(^2\)

—

a) Tốc độ góc của chuyển động là \(5\pi\) rad/s

Để xác định tốc độ góc, chúng ta cần tính chu kỳ dao động của con lắc lò xo.
Đầu tiên, chúng ta cần tìm vị trí cân bằng động. Khi vật ở vị trí cân bằng động, lực đàn hồi của lò xo cân bằng với trọng lực. Gọi \(\Delta l_0\) là độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng.
Ta có: \(F_{đàn hồi} = F_{trọng lực}\)
\(k \cdot \Delta l_0 = m \cdot g\)
\(\Delta l_0 = \frac{m \cdot g}{k}\)

Thay số vào, ta được:
\(\Delta l_0 = \frac{0.4 \cdot 10}{100} = \frac{4}{100} = 0.04\) m = 4 cm.

Vị trí ban đầu của vật là lúc lò xo không biến dạng. Điều này có nghĩa là vật được nâng lên đến vị trí lò xo ban đầu (trước khi treo vật) rồi thả nhẹ. Nếu ta coi vị trí lò xo không biến dạng là gốc tọa độ \(x=0\), thì vị trí cân bằng động sẽ cách gốc tọa độ một đoạn \(\Delta l_0\).

Tuy nhiên, đề bài cho: “Nâng vật m lên theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ”. Điều này có nghĩa là vị trí lò xo không biến dạng được chọn làm vị trí ban đầu của vật, và nó cũng là vị trí x = 0 trong hệ tọa độ mà chúng ta sẽ thiết lập.
Khi thả nhẹ vật từ vị trí lò xo không biến dạng, thì vị trí cân bằng động sẽ nằm ở dưới vị trí thả một đoạn \(\Delta l_0\).

Chu kỳ dao động của con lắc lò xo được tính bằng công thức:
\(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

Thay số vào, ta được:
\(T = 2\pi \sqrt{\frac{0.4}{100}} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{1000}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{250}}\)
Hmm, có vẻ số liệu có chút không “đẹp” lắm. Chúng ta hãy kiểm tra lại đề bài một chút.

Đề bài cho \(g = \pi^2 = 10\) m/s\(^2\).
Chúng ta hãy xem lại cách tính \(\Delta l_0\).
\(\Delta l_0 = \frac{m \cdot g}{k} = \frac{0.4 \cdot 10}{100} = 0.04\) m = 4 cm.

Bây giờ, ta tính lại chu kỳ T.
\(T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.4}{100}} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{1000}} = 2\pi \frac{2}{\sqrt{1000}} = \frac{4\pi}{\sqrt{1000}}\)
Điều này chưa khớp với phương án.

Có lẽ đề bài đã cung cấp sẵn một thông tin nào đó để chúng ta tính tốc độ góc hoặc là chúng ta cần suy luận lại.
Thường thì, trong các bài toán dao động điều hòa, tốc độ góc \(\omega\) được tính bằng \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) hoặc \(\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}}\) (trong trường hợp lò xo treo).

Hãy thử tính \(\omega\) từ \(\Delta l_0\).
\(\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l_0}} = \sqrt{\frac{10}{0.04}} = \sqrt{\frac{1000}{4}} = \sqrt{250}\) rad/s.
Cũng chưa khớp.

Chúng ta hãy quay lại công thức gốc:
\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0.4}} = \sqrt{\frac{1000}{4}} = \sqrt{250}\) rad/s.

Có một khả năng là đề bài đã cho sẵn giá trị của tốc độ góc là \(5\pi\) rad/s, và ta cần kiểm tra xem liệu các thông số \(k, m, g\) có dẫn đến giá trị này hay không, hoặc ngược lại, liệu \(5\pi\) có phải là \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) hay không.

Ta hãy kiểm tra xem liệu \( \omega = 5\pi \) có đúng không.
Nếu \( \omega = 5\pi \), thì \( \omega^2 = (5\pi)^2 = 25\pi^2 \).
Mà \( \omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{100}{0.4} = 250 \).
Và \( \pi^2 = 10 \).
Vậy \( 25\pi^2 = 25 \times 10 = 250 \).
Như vậy, \(\omega^2 = 250\) và \( (5\pi)^2 = 250 \).
Do đó, \(\omega = 5\pi\) rad/s là đúng.

Phương án a) là đúng.

—

b) Phương trình dao động điều hòa của con lắc lò xo \(x = 4\cos(5\pi t + \pi)\) cm

Chúng ta đã biết:
* Tốc độ góc: \(\omega = 5\pi\) rad/s
* Gốc thời gian là lúc thả vật.
* Chiều dương hướng xuống.

Vị trí thả vật: “Nâng vật m lên theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ”.
Nếu ta chọn gốc tọa độ tại vị trí lò xo không biến dạng, và chiều dương hướng xuống, thì:
* Tại \(t=0\), vật ở vị trí \(x=0\).
* Vật được thả nhẹ, nghĩa là vận tốc ban đầu \(v_0 = 0\).

Phương trình dao động có dạng: \(x = A\cos(\omega t + \phi)\).
Với \(\omega = 5\pi\).
Ta có \(x = A\cos(5\pi t + \phi)\).

Sử dụng điều kiện ban đầu:
Tại \(t=0\), \(x=0\).
\(0 = A\cos(\phi)\).
Điều này suy ra \(\cos(\phi) = 0\).
Vậy \(\phi = \pm \frac{\pi}{2} + n\pi\), với \(n\) là số nguyên.

Bây giờ, ta xét vận tốc: \(v = x’ = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\).
Tại \(t=0\), \(v=0\).
\(0 = -A\omega\sin(\phi)\).
Vì \(A \neq 0\) và \(\omega \neq 0\), nên \(\sin(\phi) = 0\).

Có một mâu thuẫn ở đây. Nếu \(\cos(\phi) = 0\) thì \(\sin(\phi) = \pm 1\), và nếu \(\sin(\phi) = 0\) thì \(\cos(\phi) = \pm 1\).
Chúng ta cần xem lại cách thiết lập gốc tọa độ.

“Chọn gốc thời gian là lúc thả vật, chiều dương hướng xuống.”
“Nâng vật m lên theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ”.

Hãy xem xét vị trí cân bằng động. Chúng ta đã tính \(\Delta l_0 = 4\) cm.
Nếu ta đặt gốc tọa độ tại vị trí cân bằng động, và chiều dương hướng xuống:
* Vị trí cân bằng động là \(x = 0\).
* Vị trí lò xo không biến dạng (vị trí ban đầu) sẽ ở phía trên vị trí cân bằng động một đoạn bằng \(\Delta l_0\). Vì chiều dương hướng xuống, nên vị trí ban đầu là \(x = -\Delta l_0 = -4\) cm.
* Vật được thả nhẹ, nên vận tốc ban đầu \(v_0 = 0\).

Phương trình dao động bây giờ sẽ là: \(x = A\cos(\omega t + \phi)\).
Với \(\omega = 5\pi\).
Ta có \(x = A\cos(5\pi t + \phi)\).

Sử dụng điều kiện ban đầu:
Tại \(t=0\), \(x = -4\) cm.
\(-4 = A\cos(\phi)\). (1)

Vận tốc: \(v = -A\omega\sin(\omega t + \phi)\).
Tại \(t=0\), \(v = 0\).
\(0 = -A\omega\sin(\phi)\).
\(\sin(\phi) = 0\).
Do đó, \(\phi = 0\) hoặc \(\phi = \pi\).

Thay \(\phi\) vào phương trình (1):
Nếu \(\phi = 0\): \(-4 = A\cos(0) = A\). Vậy \(A = -4\). Biên độ không thể âm, nên trường hợp này bị loại.
Nếu \(\phi = \pi\): \(-4 = A\cos(\pi) = A(-1) = -A\). Vậy \(A = 4\) cm.

Vậy, phương trình dao động là: \(x = 4\cos(5\pi t + \pi)\) cm.

Phương án b) là đúng.

—

c) Sau 2 s vật có vận tốc là 5 cm/s

Chúng ta đã có phương trình dao động là \(x = 4\cos(5\pi t + \pi)\) cm.
Tốc độ góc là \(\omega = 5\pi\) rad/s.

Vận tốc của vật được tính bằng đạo hàm của li độ theo thời gian:
\(v = x’ = \frac{d}{dt}[4\cos(5\pi t + \pi)]\)
\(v = 4 \cdot (-\sin(5\pi t + \pi)) \cdot (5\pi)\)
\(v = -20\pi \sin(5\pi t + \pi)\) cm/s.

Chúng ta cần tính vận tốc tại \(t = 2\) s.
\(v(2) = -20\pi \sin(5\pi \cdot 2 + \pi)\)
\(v(2) = -20\pi \sin(10\pi + \pi)\)
Vì \(\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha)\) với \(k\) là số nguyên, nên:
\(v(2) = -20\pi \sin(\pi)\)
\(v(2) = -20\pi \cdot 0 = 0\) cm/s.

Vậy, sau 2 s, vật có vận tốc là 0 cm/s, không phải 5 cm/s.

Phương án c) là sai.

—

d) Vị trí của vật có động năng bằng thế năng là \( \pm 2\sqrt{2} \) cm.

Động năng của vật: \(W_đ = \frac{1}{2}mv^2\).
Thế năng của vật: \(W_t = \frac{1}{2}kx^2\).

Điều kiện động năng bằng thế năng: \(W_đ = W_t\).
\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2\)
\(mv^2 = kx^2\)

Chúng ta biết \(v = \omega x\) khi vật dao động điều hòa (nếu xét relation giữa v và x qua góc pha).
Tuy nhiên, cách dễ hơn là sử dụng công thức liên hệ giữa vận tốc và li độ:
\(v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)\).

Thay vào phương trình \(mv^2 = kx^2\):
\(m \cdot \omega^2(A^2 – x^2) = kx^2\)
Ta có \(\omega^2 = \frac{k}{m}\), nên \(m\omega^2 = k\).
\(k(A^2 – x^2) = kx^2\)
Chia cả hai vế cho \(k\) (vì \(k \neq 0\)):
\(A^2 – x^2 = x^2\)
\(A^2 = 2x^2\)
\(x^2 = \frac{A^2}{2}\)
\(x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} = \pm \frac{A\sqrt{2}}{2}\).

Biên độ dao động của chúng ta là \(A = 4\) cm.
Vậy, vị trí của vật có động năng bằng thế năng là:
\(x = \pm \frac{4}{\sqrt{2}} = \pm \frac{4\sqrt{2}}{2} = \pm 2\sqrt{2}\) cm.

Phương án d) là đúng.

—

Kết luận:

Sau khi phân tích chi tiết từng phương án, ta thấy:
* Phương án a) là đúng.
* Phương án b) là đúng.
* Phương án c) là sai.
* Phương án d) là đúng.

Vậy, các phương án đúng là a), b) và d).

Các em có câu hỏi nào không? Chúng ta có thể cùng nhau làm rõ hơn nếu có điểm nào chưa hiểu nhé!