Câu 21: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng, thực hiện đồng thời với hai ánh sáng đơn sắc khoảng vân giao thoa trên màn lần lượt là \(i_1 = 0,8\) mm và \(i_2 = 0,6\) mm. Biết bề rộng trường giao thoa là 9,6 mm. Trên trường giao thoa, số vị trí mà vân sáng hệ 2 trùng với vân tối hệ 1 là

A. 6 vân.

B. 5 vân.

C. 3 vân.

D. 4 vân.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có hai nguồn sáng đơn sắc, cho ra hai hệ vân giao thoa khác nhau với khoảng vân lần lượt là \(i_1\) và \(i_2\). Yêu cầu của đề bài là tìm số vị trí mà vân sáng của hệ thứ hai trùng với vân tối của hệ thứ nhất trong một bề rộng trường giao thoa nhất định.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Xác định điều kiện trùng nhau của vân sáng và vân tối.

Xét một điểm M trên màn giao thoa, cách vân trung tâm một khoảng \(x\).

Vân sáng của hệ thứ hai tại M có nghĩa là:

\(x = k_2 \cdot i_2\), với \(k_2\) là số nguyên (\(k_2 \in \mathbb{Z}\)).

Vân tối của hệ thứ nhất tại M có nghĩa là:

\(x = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot i_1\), với \(n_1\) là số nguyên (\(n_1 \in \mathbb{Z}\)).

Để hai điều kiện này xảy ra đồng thời tại cùng một vị trí \(x\), ta có phương trình:

\(k_2 \cdot i_2 = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot i_1\)

Bước 2: Thay số và biến đổi phương trình.

Ta có \(i_1 = 0,8\) mm và \(i_2 = 0,6\) mm. Thay vào phương trình:

\(k_2 \cdot 0,6 = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot 0,8\)

Nhân cả hai vế với 10 để loại bỏ phần thập phân:

\(6 k_2 = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot 8\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(3 k_2 = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot 4\)

Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phần phân số:

\(6 k_2 = (2n_1 + 1) \cdot 4\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(3 k_2 = (2n_1 + 1) \cdot 2\)
\(3 k_2 = 4n_1 + 2\)

Bước 3: Tìm mối liên hệ giữa \(k_2\) và \(n_1\).

Ta cần tìm các cặp số nguyên \(k_2\) và \(n_1\) thỏa mãn phương trình \(3 k_2 = 4n_1 + 2\).

Ta có thể biểu diễn \(k_2\) theo \(n_1\):

\(k_2 = \frac{4n_1 + 2}{3}\)

Để \(k_2\) là số nguyên, \(4n_1 + 2\) phải chia hết cho 3.

Ta xét các giá trị của \(n_1\):

Nếu \(n_1 = 0\), \(4(0) + 2 = 2\) (không chia hết cho 3)

Nếu \(n_1 = 1\), \(4(1) + 2 = 6\) (chia hết cho 3). Khi đó \(k_2 = \frac{6}{3} = 2\).

Nếu \(n_1 = 2\), \(4(2) + 2 = 10\) (không chia hết cho 3)

Nếu \(n_1 = 3\), \(4(3) + 2 = 14\) (không chia hết cho 3)

Nếu \(n_1 = 4\), \(4(4) + 2 = 18\) (chia hết cho 3). Khi đó \(k_2 = \frac{18}{3} = 6\).

Ta nhận thấy rằng \(4n_1 + 2\) chia hết cho 3 khi \(4n_1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}\).

\(n_1 + 2 \equiv 0 \pmod{3}\)

\(n_1 \equiv -2 \pmod{3}\)

\(n_1 \equiv 1 \pmod{3}\)

Vậy, \(n_1\) có dạng \(n_1 = 3m + 1\), với \(m\) là số nguyên.

Thay \(n_1 = 3m + 1\) vào biểu thức của \(k_2\):

\(k_2 = \frac{4(3m + 1) + 2}{3} = \frac{12m + 4 + 2}{3} = \frac{12m + 6}{3} = 4m + 2\)

Như vậy, các cặp \((k_2, n_1)\) thỏa mãn điều kiện trùng nhau có dạng \((4m + 2, 3m + 1)\) với \(m \in \mathbb{Z}\).

Bước 4: Xét điều kiện về bề rộng trường giao thoa.

Bề rộng trường giao thoa là 9,6 mm. Ta giả sử trường giao thoa này đối xứng qua vân trung tâm, tức là trải dài từ \(-4,8\) mm đến \(+4,8\) mm. Hoặc ta xét từ vị trí 0 đến 9,6 mm.

Ta sẽ xét vị trí \(x\) của điểm trùng nhau. Vị trí \(x\) phải thỏa mãn:

\(0 \le x \le 9,6\) mm

Vân sáng hệ 2: \(x = k_2 \cdot i_2 = k_2 \cdot 0,6\)

Vân tối hệ 1: \(x = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot i_1 = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot 0,8\)

Ta sử dụng mối quan hệ \(k_2 = 4m + 2\) và \(n_1 = 3m + 1\).

Vị trí \(x\) có thể được tính bằng:

\(x = k_2 \cdot i_2 = (4m + 2) \cdot 0,6 = 2,4m + 1,2\)

Ta cần tìm các giá trị nguyên \(m\) sao cho \(0 \le x \le 9,6\).

\(0 \le 2,4m + 1,2 \le 9,6\)

Trừ 1,2 ở cả ba vế:

\(-1,2 \le 2,4m \le 8,4\)

Chia cả ba vế cho 2,4:

\(\frac{-1,2}{2,4} \le m \le \frac{8,4}{2,4}\)
\(-0,5 \le m \le 3,5\)

Vì \(m\) là số nguyên, các giá trị có thể của \(m\) là: \(0, 1, 2, 3\).

Bước 5: Đếm số vị trí trùng nhau.

Với mỗi giá trị nguyên của \(m\) tìm được, ta sẽ có một vị trí trùng nhau.

Khi \(m = 0\), \(x = 2,4(0) + 1,2 = 1,2\) mm.

Khi \(m = 1\), \(x = 2,4(1) + 1,2 = 3,6\) mm.

Khi \(m = 2\), \(x = 2,4(2) + 1,2 = 4,8 + 1,2 = 6,0\) mm.

Khi \(m = 3\), \(x = 2,4(3) + 1,2 = 7,2 + 1,2 = 8,4\) mm.

Có tổng cộng 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn, do đó có 4 vị trí mà vân sáng hệ 2 trùng với vân tối hệ 1 trên trường giao thoa có bề rộng 9,6 mm.

Kiểm tra lại:

Ta có thể kiểm tra lại bằng cách sử dụng biểu thức của \(n_1\).

Vị trí \(x\) cũng có thể tính bằng:

\(x = (n_1 + \frac{1}{2}) \cdot i_1 = ((3m + 1) + \frac{1}{2}) \cdot 0,8 = (3m + \frac{3}{2}) \cdot 0,8 = 2,4m + 1,2\).

Biểu thức này hoàn toàn giống với biểu thức tính \(x\) theo \(k_2\), đảm bảo tính nhất quán.

Các vị trí trùng nhau là: 1,2 mm; 3,6 mm; 6,0 mm; 8,4 mm.

Tất cả các vị trí này đều nằm trong khoảng từ 0 mm đến 9,6 mm.

Kết luận:

Số vị trí mà vân sáng hệ 2 trùng với vân tối hệ 1 là 4.

Đáp án đúng là D.