m

để hai đường thẳng song song với nhau.

Đề bài:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng (d): \( y = mx + 3m + 2 \) và (d₁) \( y = x + 1 \). Tìm giá trị của

m

để hai đường thẳng (d) và (d₁) song song với nhau.

Phân tích bài toán:

Để hai đường thẳng song song với nhau trong mặt phẳng Oxy, chúng ta cần nhớ lại điều kiện về hệ số góc của chúng.

Cho hai đường thẳng có phương trình dạng tổng quát:

Đường thẳng 1: \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \)

Đường thẳng 2: \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \)

Hai đường thẳng này song song với nhau khi và chỉ khi tỉ lệ các hệ số tương ứng bằng nhau, nhưng tỉ lệ của hệ số tự do khác:

\( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)

Tuy nhiên, trong bài toán này, hai đường thẳng đã cho ở dạng \( y = kx + b \), tức là dạng hàm số bậc nhất. Điều này làm cho việc xác định điều kiện song song trở nên đơn giản hơn.

Cho hai đường thẳng có phương trình dạng hàm số bậc nhất:

Đường thẳng 1: \( y = k_1x + b_1 \)

Đường thẳng 2: \( y = k_2x + b_2 \)

Hai đường thẳng này song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau, và tung độ gốc của chúng khác nhau:

\( k_1 = k_2 \) và \( b_1 \neq b_2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng điều kiện này vào bài toán của mình.

Giải bài toán:

Ta có hai đường thẳng:

Đường thẳng (d): \( y = mx + 3m + 2 \)

Đường thẳng (d₁): \( y = x + 1 \)

Từ phương trình của đường thẳng (d), ta xác định được hệ số góc là \( k_1 = m \) và tung độ gốc là \( b_1 = 3m + 2 \).

Từ phương trình của đường thẳng (d₁), ta xác định được hệ số góc là \( k_2 = 1 \) và tung độ gốc là \( b_2 = 1 \).

Để hai đường thẳng (d) và (d₁) song song với nhau, ta cần hai điều kiện sau:

1. Hệ số góc của chúng bằng nhau: \( k_1 = k_2 \)

2. Tung độ gốc của chúng khác nhau: \( b_1 \neq b_2 \)

Bước 1: Xét điều kiện hệ số góc bằng nhau.

\( m = 1 \)

Bước 2: Với giá trị \( m = 1 \) tìm được, ta kiểm tra xem tung độ gốc của hai đường thẳng có khác nhau hay không.

Thay \( m = 1 \) vào tung độ gốc của đường thẳng (d):

\( b_1 = 3m + 2 = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5 \)

Tung độ gốc của đường thẳng (d₁) là \( b_2 = 1 \).

Ta thấy \( b_1 = 5 \) và \( b_2 = 1 \). Rõ ràng \( 5 \neq 1 \), nên điều kiện \( b_1 \neq b_2 \) được thỏa mãn.

Vì cả hai điều kiện \( k_1 = k_2 \) và \( b_1 \neq b_2 \) đều được thỏa mãn khi \( m = 1 \), nên hai đường thẳng (d) và (d₁) song song với nhau khi \( m = 1 \).

Kết luận:

Vậy, giá trị của

m

để hai đường thẳng (d) và (d₁) song song với nhau là \( m = 1 \).

Các em có câu hỏi nào không?