Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động khá thú vị và cần sự phân tích cẩn thận. Đây là dạng toán thường gặp trong các kì thi, các em chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:

Một người đi xe máy từ A đến B. Khi đi từ A đến B, cứ sau mỗi giờ chạy xe người đó nghỉ 10 phút nên tổng thời gian cả đi và nghỉ là 5 giờ. Lúc về từ B về A, người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h và không nghỉ nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 1 giờ 20 phút. Tính vận tốc lúc đi của xe máy.

—

Phân tích đề bài và Gọi các ẩn:

Đây là bài toán liên quan đến quãng đường, vận tốc và thời gian. Chúng ta có hai giai đoạn: đi từ A đến B và về từ B về A.

Để tiện giải quyết, chúng ta sẽ gọi các đại lượng cần thiết:

• Gọi vận tốc xe máy lúc đi từ A đến B là \(v\) (km/h). Điều kiện: \(v > 0\).
• Gọi quãng đường AB là \(S\) (km). Điều kiện: \(S > 0\).
• Thời gian xe chạy thực tế lúc đi từ A đến B là \(t_{đi}\) (giờ).
• Thời gian xe chạy thực tế lúc về từ B về A là \(t_{về}\) (giờ).

Xây dựng các phương trình từ đề bài:

1. Phân tích chặng đường đi từ A đến B:

• Người đó nghỉ 10 phút sau mỗi giờ chạy xe.
• Tổng thời gian cả đi và nghỉ là 5 giờ.

Điều này có nghĩa là, nếu xe chạy được \(t_{đi}\) giờ, thì số lần nghỉ sẽ là phần nguyên của \(t_{đi}\) (ký hiệu là \(\lfloor t_{đi} \rfloor\)). Mỗi lần nghỉ 10 phút, tức là \(\frac{10}{60} = \frac{1}{6}\) giờ.

Tổng thời gian nghỉ sẽ là: \(\lfloor t_{đi} \rfloor \cdot \frac{1}{6}\) (giờ).

Theo đề bài, tổng thời gian cả đi và nghỉ là 5 giờ, nên ta có phương trình:

\(t_{đi} + \lfloor t_{đi} \rfloor \cdot \frac{1}{6} = 5\) (1)

Để tìm \(t_{đi}\), chúng ta cần tìm giá trị của \(\lfloor t_{đi} \rfloor\). Vì \(t_{đi}\) chắc chắn nhỏ hơn 5 giờ (vì còn thời gian nghỉ), ta thử các giá trị nguyên nhỏ hơn 5 cho \(\lfloor t_{đi} \rfloor\):

• Nếu \(\lfloor t_{đi} \rfloor = 4\):
  
  Thay vào (1), ta có: \(t_{đi} + 4 \cdot \frac{1}{6} = 5\)
  
  \(t_{đi} + \frac{2}{3} = 5\)
  
  \(t_{đi} = 5 – \frac{2}{3} = \frac{15}{3} – \frac{2}{3} = \frac{13}{3}\) (giờ).
  
  Kiểm tra điều kiện: \(t_{đi} = \frac{13}{3} \approx 4.33\) giờ. Khi đó, \(\lfloor t_{đi} \rfloor = \lfloor 4.33 \rfloor = 4\). Điều này hoàn toàn phù hợp với giả định ban đầu là \(\lfloor t_{đi} \rfloor = 4\).
  
  Vậy, thời gian thực tế xe chạy từ A đến B là \(t_{đi} = \frac{13}{3}\) giờ.
• (Nếu thử \(\lfloor t_{đi} \rfloor = 3\), ta sẽ có \(t_{đi} = 5 – \frac{3}{6} = 4.5\). Khi đó \(\lfloor t_{đi} \rfloor = 4\), không phù hợp với giả định \(\lfloor t_{đi} \rfloor = 3\). Tương tự cho các giá trị khác.)

Mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian lúc đi là: \(S = v \cdot t_{đi} = v \cdot \frac{13}{3}\) (I)

2. Phân tích chặng đường về từ B về A:

• Vận tốc lúc về: \(v + 10\) (km/h).
• Không nghỉ dọc đường.
• Thời gian về ít hơn thời gian đi là 1 giờ 20 phút.

Đổi 1 giờ 20 phút ra giờ: \(1 \text{ giờ } 20 \text{ phút} = 1 + \frac{20}{60} \text{ giờ} = 1 + \frac{1}{3} \text{ giờ} = \frac{4}{3}\) giờ.

Vậy, thời gian thực tế xe chạy từ B về A là:

\(t_{về} = t_{đi} – \frac{4}{3}\)

Thay \(t_{đi} = \frac{13}{3}\) vào, ta được:

\(t_{về} = \frac{13}{3} – \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3\) (giờ).

Mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian lúc về là: \(S = (v + 10) \cdot t_{về} = (v + 10) \cdot 3\) (II)

Giải hệ phương trình:

Từ (I) và (II), vì quãng đường AB không đổi, ta có:

\(v \cdot \frac{13}{3} = (v + 10) \cdot 3\)

Giải phương trình này để tìm \(v\):

\(\frac{13v}{3} = 3v + 30\)

Để loại bỏ mẫu số, ta nhân cả hai vế với 3:

\(13v = 3(3v + 30)\)

\(13v = 9v + 90\)

Chuyển các số hạng chứa \(v\) sang một vế:

\(13v – 9v = 90\)

\(4v = 90\)

\(v = \frac{90}{4}\)

\(v = 22.5\)

Kiểm tra điều kiện: \(v = 22.5 > 0\), thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, vận tốc lúc đi của xe máy là 22.5 km/h.

—

Kiểm tra lại (Không bắt buộc nhưng giúp chúng ta chắc chắn):

• Vận tốc lúc đi: \(v = 22.5\) km/h.
• Thời gian đi thực tế: \(t_{đi} = \frac{13}{3}\) giờ (khoảng 4 giờ 20 phút).
• Số lần nghỉ: \(\lfloor \frac{13}{3} \rfloor = 4\) lần.
• Tổng thời gian nghỉ: \(4 \times 10 \text{ phút} = 40 \text{ phút} = \frac{2}{3}\) giờ.
• Tổng thời gian cả đi và nghỉ: \(\frac{13}{3} + \frac{2}{3} = \frac{15}{3} = 5\) giờ. (Đúng với đề bài)
• Quãng đường AB: \(S = 22.5 \times \frac{13}{3} = 7.5 \times 13 = 97.5\) km.
• Vận tốc lúc về: \(v_{về} = 22.5 + 10 = 32.5\) km/h.
• Thời gian về: \(t_{về} = \frac{S}{v_{về}} = \frac{97.5}{32.5} = 3\) giờ.
• So sánh thời gian đi và về: \(t_{đi} – t_{về} = \frac{13}{3} – 3 = \frac{13}{3} – \frac{9}{3} = \frac{4}{3}\) giờ.
• \(\frac{4}{3}\) giờ = 1 giờ 20 phút. (Đúng với đề bài)

Tất cả các dữ kiện đều khớp với đề bài. Vậy lời giải của chúng ta là chính xác.

Chúc các em học tốt!