Xin chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị về chuyển động tròn đều liên quan đến chiếc đồng hồ quen thuộc. Bài toán này sẽ giúp chúng ta củng cố lại các khái niệm về tốc độ dài và cách vận dụng chúng vào thực tế.

Bài toán cho chúng ta biết:

– Kim giờ của đồng hồ có chiều dài là \( r_h = 6 \) cm.
– Tốc độ dài của đầu mút kim phút gấp 12 lần tốc độ dài của đầu mút kim giờ. Tức là \( v_p = 12 \cdot v_h \).

Chúng ta cần tính:

1. Chiều dài của kim phút, ký hiệu là \( r_p \).
2. Tốc độ dài của đầu mút kim phút, ký hiệu là \( v_p \). Tuy nhiên, để tính \( v_p \) chúng ta cần biết \( v_h \), nên có lẽ đề bài muốn chúng ta tính \( v_h \) hoặc ít nhất là cho chúng ta biết mối quan hệ này để suy ra. Chúng ta sẽ làm rõ điều này trong quá trình giải.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phần chi tiết cách giải nhé.

Bước 1: Phân tích chuyển động của kim đồng hồ

Cả kim giờ và kim phút của đồng hồ đều quay quanh một trục cố định tại tâm của mặt đồng hồ. Do đó, chuyển động của đầu mút các kim này là chuyển động tròn đều.

Bước 2: Tìm chu kỳ quay của kim giờ và kim phút

Để tính tốc độ dài, chúng ta cần biết chu kỳ quay hoặc tần số quay của mỗi kim.

• Kim giờ: Kim giờ quay hết một vòng (12 giờ) trong 12 tiếng.

Đổi 12 tiếng ra giây: \( T_h = 12 \text{ giờ} = 12 \times 3600 \text{ giây} = 43200 \text{ giây} \).

• Kim phút: Kim phút quay hết một vòng (60 phút) trong 1 tiếng.

Đổi 1 tiếng ra giây: \( T_p = 1 \text{ giờ} = 3600 \text{ giây} \).

Bước 3: Tính tốc độ dài của đầu mút kim giờ

Tốc độ dài của một chất điểm chuyển động tròn đều được tính bằng công thức: \( v = \frac{2 \pi r}{T} \), trong đó \( r \) là bán kính quỹ đạo (chính là chiều dài kim) và \( T \) là chu kỳ quay.

Đối với kim giờ:

\( v_h = \frac{2 \pi r_h}{T_h} \)

Thay số vào ta có:

\( v_h = \frac{2 \pi \times 6 \text{ cm}}{43200 \text{ s}} \)

\( v_h = \frac{12 \pi}{43200} \text{ cm/s} \)

\( v_h = \frac{\pi}{3600} \text{ cm/s} \)

Bước 4: Tính chiều dài của kim phút

Chúng ta đã biết mối quan hệ về tốc độ dài: \( v_p = 12 \cdot v_h \).

Ta cũng có công thức tính tốc độ dài cho kim phút: \( v_p = \frac{2 \pi r_p}{T_p} \).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \( v_h \) và \( v_p \) vào mối quan hệ đã cho:

\( \frac{2 \pi r_p}{T_p} = 12 \cdot \frac{2 \pi r_h}{T_h} \)

Chúng ta có thể rút gọn \( 2 \pi \) ở cả hai vế:

\( \frac{r_p}{T_p} = 12 \cdot \frac{r_h}{T_h} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm \( r_p \):

\( r_p = 12 \cdot \frac{r_h}{T_h} \cdot T_p \)

Thay các giá trị đã biết vào: \( r_h = 6 \) cm, \( T_h = 43200 \) s, \( T_p = 3600 \) s.

\( r_p = 12 \cdot \frac{6 \text{ cm}}{43200 \text{ s}} \cdot 3600 \text{ s} \)

\( r_p = 12 \cdot 6 \cdot \frac{3600}{43200} \text{ cm} \)

\( r_p = 72 \cdot \frac{1}{12} \text{ cm} \)

\( r_p = 6 \text{ cm} \)

Vậy, chiều dài của kim phút cũng là 6 cm. Thật là một sự trùng hợp thú vị!

Bước 5: Tính tốc độ dài của đầu mút kim phút

Bây giờ chúng ta đã có chiều dài của kim phút là \( r_p = 6 \) cm và chu kỳ quay của nó là \( T_p = 3600 \) s.

Áp dụng công thức tốc độ dài: \( v_p = \frac{2 \pi r_p}{T_p} \)

\( v_p = \frac{2 \pi \times 6 \text{ cm}}{3600 \text{ s}} \)

\( v_p = \frac{12 \pi}{3600} \text{ cm/s} \)

\( v_p = \frac{\pi}{300} \text{ cm/s} \)

Chúng ta cũng có thể kiểm tra lại mối quan hệ \( v_p = 12 \cdot v_h \):

\( v_h = \frac{\pi}{3600} \text{ cm/s} \)

\( 12 \cdot v_h = 12 \cdot \frac{\pi}{3600} \text{ cm/s} = \frac{\pi}{300} \text{ cm/s} \)

Kết quả này hoàn toàn khớp với \( v_p \) chúng ta vừa tính.

Kết luận:

– Chiều dài của kim phút là: \( r_p = 6 \) cm.

– Tốc độ dài của đầu mút kim phút là: \( v_p = \frac{\pi}{300} \) cm/s.

Hy vọng qua bài giải này, các em đã hiểu rõ hơn về cách tính toán các đại lượng trong chuyển động tròn đều. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!