Bài toán

Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng với ánh sáng đơn sắc có bước sóng \( \lambda \). Biết rằng khoảng cách \( a \) giữa hai khe hẹp là không đổi và khi khoảng cách \( D \) từ mặt phẳng chứa hai khe hẹp đến màn quan sát là 0,9 m thì tại điểm M trên màn quan sát có vân sáng bậc 5. Thực hiện dời màn ra xa hai khe hẹp cho đến khi M trở thành vân tối lần thứ ba thì khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe hẹp đến màn quan sát là bao nhiêu mét? Kết quả làm tròn đến hàng thập phân thứ nhất.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có một thí nghiệm Young với các thông số ban đầu. Điểm M trên màn ban đầu là vân sáng bậc 5. Sau đó, chúng ta thay đổi khoảng cách \( D \) đến màn và điểm M này trở thành vân tối lần thứ ba. Yêu cầu là tìm khoảng cách \( D \) mới này.

Các công thức cần nhớ:

• Vị trí của vân sáng bậc k trên màn quan sát: \( x_s = k \frac{\lambda D}{a} \)
• Vị trí của vân tối bậc k trên màn quan sát: \( x_t = (k + \frac{1}{2}) \frac{\lambda D}{a} \)

Giải chi tiết:

Trường hợp 1: Ban đầu

Khi khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát là \( D_1 = 0,9 \) m.

Tại điểm M trên màn quan sát có vân sáng bậc 5.

Áp dụng công thức vị trí vân sáng, ta có:

\( x_M = 5 \frac{\lambda D_1}{a} \)
(1)

Trường hợp 2: Sau khi dời màn

Chúng ta dời màn ra xa hai khe, khoảng cách mới là \( D_2 \).

Điểm M lúc này trở thành vân tối lần thứ ba.

Để xác định “vân tối lần thứ ba”, chúng ta cần hiểu rõ thứ tự của các vân tối. Vân tối đầu tiên (k=0) cách vân trung tâm \( 0.5 \frac{\lambda D}{a} \), vân tối thứ hai (k=1) cách vân trung tâm \( 1.5 \frac{\lambda D}{a} \), và vân tối thứ ba sẽ cách vân trung tâm \( 2.5 \frac{\lambda D}{a} \).

Do đó, vị trí của M khi là vân tối lần thứ ba được cho bởi công thức:

\( x_M = (2 + \frac{1}{2}) \frac{\lambda D_2}{a} = 2.5 \frac{\lambda D_2}{a} \)
(2)

Liên hệ hai trường hợp:

Vì điểm M là cùng một điểm trên màn quan sát trong cả hai trường hợp, nên vị trí \( x_M \) của nó là như nhau.

Ta cho phương trình (1) bằng phương trình (2):

\( 5 \frac{\lambda D_1}{a} = 2.5 \frac{\lambda D_2}{a} \)

Tìm \( D_2 \):

Ta có thể rút gọn \( \frac{\lambda}{a} \) ở cả hai vế vì nó là một đại lượng khác không:

\( 5 D_1 = 2.5 D_2 \)

Thay \( D_1 = 0,9 \) m vào:

\( 5 \times 0,9 = 2.5 D_2 \)

\( 4,5 = 2.5 D_2 \)

\( D_2 = \frac{4,5}{2.5} \)

\( D_2 = 1,8 \) m

Kết quả:

Khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe hẹp đến màn quan sát là 1,8 mét.

Kết quả này đã làm tròn đến hàng thập phân thứ nhất.

Vậy, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe hẹp đến màn quan sát khi M trở thành vân tối lần thứ ba là 1,8 m.

Các em có câu hỏi nào không?