Câu 4. Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng k = 100 N/m, vật nặng có khối lượng m = 200 g, dao động điều hoà với biên độ A = 5 cm. Xác định:
a) Li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng 3 lần thế năng của con lắc.
b) Tốc độ của vật khi vật qua vị trí cân bằng.

Chúng ta sẽ đi vào giải quyết từng phần nhé.

a) Li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng 3 lần thế năng của con lắc.

Đầu tiên, các em cần nhớ lại các công thức liên quan đến động năng và thế năng của con lắc lò xo.

Thế năng đàn hồi của con lắc lò xo được tính bằng công thức:
\(W_t = \frac{1}{2} k x^2\)
trong đó \(k\) là độ cứng của lò xo và \(x\) là li độ của vật.

Động năng của con lắc lò xo được tính bằng công thức:
\(W_đ = \frac{1}{2} m v^2\)
trong đó \(m\) là khối lượng của vật và \(v\) là tốc độ của vật.

Chúng ta cũng biết rằng cơ năng của con lắc lò xo là không đổi và bằng:
\(W = W_đ + W_t = \frac{1}{2} k A^2\)

Đề bài cho chúng ta biết: động năng của vật bằng 3 lần thế năng của con lắc. Ta có thể viết biểu thức này như sau:
\(W_đ = 3 W_t\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các biểu thức của động năng và thế năng vào phương trình này:
\(\frac{1}{2} m v^2 = 3 \left( \frac{1}{2} k x^2 \right)\)
\(\frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} k x^2\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa vận tốc và li độ trong dao động điều hòa. Các em còn nhớ công thức liên hệ này không?
\(v^2 = \omega^2 (A^2 – x^2)\)
trong đó \(\omega\) là tần số góc của dao động, và \(\omega^2 = \frac{k}{m}\).

Thay \(\omega^2 = \frac{k}{m}\) vào công thức liên hệ vận tốc và li độ, ta được:
\(v^2 = \frac{k}{m} (A^2 – x^2)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(v^2\) vào phương trình \(W_đ = 3 W_t\):
\(\frac{1}{2} m \left[ \frac{k}{m} (A^2 – x^2) \right] = \frac{3}{2} k x^2\)
\(\frac{1}{2} k (A^2 – x^2) = \frac{3}{2} k x^2\)

Chúng ta có thể chia cả hai vế cho \(\frac{1}{2} k\) (vì \(k \neq 0\)):
\(A^2 – x^2 = 3 x^2\)

Bây giờ, chúng ta chỉ cần giải phương trình này để tìm \(x\):
\(A^2 = 3 x^2 + x^2\)
\(A^2 = 4 x^2\)

Suy ra:
\(x^2 = \frac{A^2}{4}\)

Lấy căn bậc hai hai vế, ta có hai trường hợp cho li độ \(x\):
\(x = \pm \frac{A}{2}\)

Đề bài cho biên độ \(A = 5\) cm.
Vậy, li độ của vật tại thời điểm động năng của vật bằng 3 lần thế năng của con lắc là:
\(x = \pm \frac{5}{2} = \pm 2.5\) cm.

Các em thấy đấy, có hai vị trí trên quỹ đạo dao động thỏa mãn điều kiện này.

b) Tốc độ của vật khi vật qua vị trí cân bằng.

Vị trí cân bằng của con lắc lò xo là vị trí mà thế năng đàn hồi bằng 0, tức là \(x = 0\).

Khi vật qua vị trí cân bằng, toàn bộ cơ năng của con lắc chuyển thành động năng. Tức là, tại vị trí cân bằng:
\(W_đ = W\)
\(W_t = 0\)

Chúng ta có công thức tính cơ năng là:
\(W = \frac{1}{2} k A^2\)

Và động năng tại vị trí cân bằng là:
\(W_đ = \frac{1}{2} m v_{max}^2\)
Trong đó, \(v_{max}\) là tốc độ cực đại của vật, và nó đạt được tại vị trí cân bằng.

Do đó, tại vị trí cân bằng, ta có:
\(\frac{1}{2} m v_{max}^2 = \frac{1}{2} k A^2\)

Chúng ta có thể rút gọn \(\frac{1}{2}\) ở hai vế:
\(m v_{max}^2 = k A^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \(v_{max}\):
\(v_{max}^2 = \frac{k A^2}{m}\)
\(v_{max} = \sqrt{\frac{k A^2}{m}} = A \sqrt{\frac{k}{m}}\)

Chúng ta cũng biết rằng \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\). Vậy, công thức tính tốc độ cực đại còn có thể viết là:
\(v_{max} = \omega A\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị đã cho vào để tính toán.
Độ cứng của lò xo: \(k = 100\) N/m.
Khối lượng vật nặng: \(m = 200\) g. Chúng ta cần đổi sang đơn vị kg: \(m = 0.2\) kg.
Biên độ dao động: \(A = 5\) cm. Chúng ta cần đổi sang đơn vị mét: \(A = 0.05\) m.

Trước tiên, chúng ta tính tần số góc \(\omega\):
\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0.2}} = \sqrt{500} = 10\sqrt{5}\) rad/s.

Bây giờ, chúng ta tính tốc độ của vật khi vật qua vị trí cân bằng (\(v_{max}\)):
\(v_{max} = \omega A = (10\sqrt{5}) \times 0.05\)
\(v_{max} = 0.5\sqrt{5}\) m/s.

Để có một con số gần đúng, chúng ta có thể tính \(\sqrt{5} \approx 2.236\).
\(v_{max} \approx 0.5 \times 2.236 \approx 1.118\) m/s.

Vậy, tốc độ của vật khi vật qua vị trí cân bằng là \(0.5\sqrt{5}\) m/s, hoặc xấp xỉ 1.118 m/s.

Các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này chưa nào? Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!