Câu 5. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên mục giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình ngày hôm nay. Bài toán năng suất công việc là một dạng toán thực tế rất hay xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải chi tiết câu hỏi này nhé.

Bước 1: Lập luận chọn ẩn và đặt điều kiện

Gọi số dụng cụ mà mỗi công nhân được giao theo kế hoạch ban đầu là x (chiếc).

Điều kiện của ẩn: x phải là số nguyên dương (x > 0).

Thời gian dự kiến để mỗi người hoàn thành công việc theo kế hoạch là x / 40 (giả sử chưa biết năng suất, ta gọi tiếp năng suất hoặc tính trực tiếp qua thời gian). À, để đơn giản hơn, ta có thể gọi ẩn là thời gian hoặc năng suất. Trong bài này, gọi số dụng cụ được giao là x và gọi thời gian dự kiến là y thì nhiều ẩn quá. Thầy/cô hướng dẫn các em chọn ẩn là thời gian dự kiến nhé!

Gọi thời gian dự kiến để hoàn thành công việc là x (giờ), với điều kiện x > 3.

Gọi số dụng cụ mỗi người phải làm theo kế hoạch là y (chiếc), với điều kiện y > 0.

Năng suất dự kiến (số dụng cụ làm trong một giờ) của mỗi người là: y / x (chiếc/giờ).

Bước 2: Lập phương trình theo dữ kiện của người thứ nhất

Theo đề bài, người thứ nhất mỗi giờ làm tăng thêm 2 dụng cụ, tức là năng suất thực tế là: (y / x) + 2 (chiếc/giờ).

Vì người này hoàn thành công việc trước thời hạn 2 giờ, nên thời gian thực tế người thứ nhất làm việc là: x – 2 (giờ).

Tổng số dụng cụ người thứ nhất làm được vẫn là y chiếc. Do đó, ta có phương trình thứ nhất:

[(y / x) + 2] nhân (x – 2) = y

Khai triển và rút gọn phương trình này:

y – (2y / x) + 2x – 4 = y

Trừ cả hai vế cho y, ta được: 2x – (2y / x) – 4 = 0

Nhân cả hai vế với x và chia cho 2, ta được phương trình: x bình phương – 2x – y = 0 (1)

Bước 3: Lập phương trình theo dữ kiện của người thứ hai

Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ, nên năng suất thực tế là: (y / x) + 4 (chiếc/giờ).

Người này hoàn thành công việc trước thời hạn 3 giờ (thời gian làm là x – 3 giờ) và còn làm thêm được 6 chiếc nữa (tổng số dụng cụ làm được là y + 6 chiếc).

Do đó, ta có phương trình thứ hai:

[(y / x) + 4] nhân (x – 3) = y + 6

Khai triển và rút gọn phương trình này:

y – (3y / x) + 4x – 12 = y + 6

Trừ cả hai vế cho y và chuyển vế, ta được:

4x – (3y / x) – 18 = 0

Nhân cả hai vế với x: 4x bình phương – 18x – 3y = 0 (2)

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm kết quả

Từ phương trình (1), ta rút ra được y theo x như sau:

y = x bình phương – 2x

Thế biểu thức của y vào phương trình (2), ta có:

4x bình phương – 18x – 3 nhân (x bình phương – 2x) = 0

4x bình phương – 18x – 3x bình phương cộng 6x = 0

x bình phương – 12x = 0

x nhân (x – 12) = 0

Vì điều kiện x > 3, nên ta nhận nghiệm x = 12 (loại nghiệm x = 0).

Vậy thời gian dự kiến hoàn thành công việc là 12 giờ.

Bây giờ, thay x = 12 vào biểu thức tính y, ta được:

y = 12 bình phương – 2 nhân 12 = 144 – 24 = 120 (chiếc).

Bước 5: Kết luận

Đối chiếu với điều kiện ban đầu (y > 0 và x > 3), ta thấy thỏa mãn.

Vậy số dụng cụ mà mỗi công nhân được giao theo kế hoạch là 120 chiếc.

Lời khuyên từ giáo viên: Đối với các bài toán lập phương trình năng suất, các em cần nhớ mối quan hệ bất biến: Tổng số sản phẩm = Năng suất nhân với Thời gian. Hãy luôn cẩn thận trong khâu đặt ẩn, đặt điều kiện và biến đổi đại số để tránh những sai sót đáng tiếc nhé. Chúc các em học tập thật tốt!