Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập câu 6 về hệ phương trình tham số.

Bài toán: Cho hệ phương trình

\(\left \{ {{mx – y=m^{2}} \atop {2x + my=m^{2}} + 2m + 2} \right.\)

( m là tham số), có nghiệm duy nhất (\(x\);\(y\)). Tính giá trị nhỏ nhất của tổng T = \(x^{2}\) + \(y\) + \(1\).

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Sau đó, chúng ta sẽ biểu diễn \(x\) và \(y\) theo tham số \(m\). Cuối cùng, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(x\) và \(y\) vào biểu thức T và tìm giá trị nhỏ nhất của T.

Giải bài:

Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình đã cho có dạng:

\(\left \{ {{mx – y = m^{2}} \quad (1)} \atop {2x + my = m^{2} + 2m + 2 \quad (2)}} \right.\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, điều kiện là tỉ số của các hệ số của \(x\) và \(y\) phải khác nhau.

Tức là: \(\frac{m}{2} \neq \frac{-1}{m}\)

Nhân chéo hai vế, ta có:

\(m \cdot m \neq 2 \cdot (-1)\)

\(m^2 \neq -2\)

Bất đẳng thức \(m^2 \neq -2\) luôn đúng với mọi giá trị thực của \(m\) vì \(m^2 \ge 0\). Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m\).

Bước 2: Biểu diễn \(x\) và \(y\) theo \(m\).

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1), ta rút ra \(y\) theo \(x\) và \(m\):

\(y = mx – m^2 \quad (3)\)

Thế (3) vào phương trình (2):

\(2x + m(mx – m^2) = m^2 + 2m + 2\)

\(2x + m^2x – m^3 = m^2 + 2m + 2\)

\(x(2 + m^2) = m^3 + m^2 + 2m + 2\)

Ta thấy \(2 + m^2 \neq 0\) với mọi \(m\). Do đó, ta có thể chia cả hai vế cho \(2 + m^2\):

\(x = \frac{m^3 + m^2 + 2m + 2}{m^2 + 2}\)

Để rút gọn biểu thức của \(x\), ta có thể tách tử số:

\(x = \frac{m(m^2 + 2) + m^2 + 2}{m^2 + 2}\)

\(x = \frac{m(m^2 + 2)}{m^2 + 2} + \frac{m^2 + 2}{m^2 + 2}\)

\(x = m + 1\)

Bây giờ, thế \(x = m + 1\) vào phương trình (3) để tìm \(y\):

\(y = m(m+1) – m^2\)

\(y = m^2 + m – m^2\)

\(y = m\)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (\(x = m+1\); \(y = m\)).

Bước 3: Tính giá trị nhỏ nhất của T = \(x^{2}\) + \(y\) + \(1\).

Thay \(x = m+1\) và \(y = m\) vào biểu thức T:

\(T = (m+1)^2 + m + 1\)

\(T = (m^2 + 2m + 1) + m + 1\)

\(T = m^2 + 3m + 2\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai \(T = m^2 + 3m + 2\).

Cách 1: Sử dụng đỉnh của parabol.

Tam thức bậc hai \(T(m) = am^2 + bm + c\) có đỉnh tại \(m = -\frac{b}{2a}\). Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = 2\).

Hoành độ đỉnh là: \(m = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2}\).

Vì \(a = 1 > 0\), parabol quay bề lõm lên trên, nên đỉnh chính là điểm có giá trị nhỏ nhất.

Thay \(m = -\frac{3}{2}\) vào biểu thức T:

\(T_{min} = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{2}\right) + 2\)

\(T_{min} = \frac{9}{4} – \frac{9}{2} + 2\)

\(T_{min} = \frac{9}{4} – \frac{18}{4} + \frac{8}{4}\)

\(T_{min} = \frac{9 – 18 + 8}{4} = \frac{-1}{4}\)

Cách 2: Hoàn thành bình phương.

\(T = m^2 + 3m + 2\)

\(T = \left(m^2 + 2 \cdot m \cdot \frac{3}{2} + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) – \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2\)

\(T = \left(m + \frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{4} + 2\)

\(T = \left(m + \frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{4} + \frac{8}{4}\)

\(T = \left(m + \frac{3}{2}\right)^2 – \frac{1}{4}\)

Vì \(\left(m + \frac{3}{2}\right)^2 \ge 0\) với mọi \(m\), nên giá trị nhỏ nhất của T xảy ra khi \(\left(m + \frac{3}{2}\right)^2 = 0\), tức là \(m = -\frac{3}{2}\).

Khi đó, giá trị nhỏ nhất của T là \(T_{min} = 0 – \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}\).

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của tổng T = \(x^{2}\) + \(y\) + \(1\) là \(-\frac{1}{4}\).

Các em có câu hỏi gì không?