Đề bài: Một sóng ngang truyền trên một sợi dây rất dài với tốc độ truyền sóng là \( v = 6m/s \) và tần số sóng có giá trị từ \( 35 Hz \) đến \( 44 Hz \). Biết hai phần tử tại hai điểm trên dây cách nhau \( 50cm \) luôn dao động vuông pha nhau. Bước sóng là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Phân tích đề bài:

Chúng ta có các thông tin sau:

• Sóng ngang truyền trên sợi dây rất dài.
• Tốc độ truyền sóng: \( v = 6m/s \).
• Tần số sóng: \( 35 Hz \le f \le 44 Hz \).
• Khoảng cách giữa hai điểm trên dây: \( d = 50cm = 0.5m \).
• Hai điểm này luôn dao động vuông pha nhau.

Yêu cầu chúng ta tìm bước sóng \( \lambda \).

Phương pháp giải:

Trong bài toán sóng, điều kiện để hai điểm trên cùng một phương truyền sóng dao động vuông pha nhau được biểu diễn qua mối quan hệ về khoảng cách giữa chúng và bước sóng.

Nếu hai điểm \( M \) và \( N \) trên dây cách nhau một khoảng \( d \), và chúng dao động vuông pha nhau, thì khoảng cách \( d \) phải thỏa mãn công thức:

\( d = (2k + 1) \frac{\lambda}{4} \)

trong đó \( k \) là một số nguyên không âm (\( k = 0, 1, 2, … \)).

Chúng ta có \( d = 0.5m \), vậy:

\( 0.5 = (2k + 1) \frac{\lambda}{4} \)

Từ đây, ta có thể biểu diễn bước sóng \( \lambda \) theo \( k \):

\( \lambda = \frac{0.5 \times 4}{2k + 1} = \frac{2}{2k + 1} \)

Bây giờ, chúng ta cần sử dụng thông tin về tốc độ truyền sóng và dải tần số để xác định giá trị của \( k \).

Mối liên hệ giữa tốc độ truyền sóng \( v \), tần số \( f \) và bước sóng \( \lambda \) là:

\( v = f \lambda \)

Suy ra \( \lambda = \frac{v}{f} \).

Thay \( \lambda \) vào biểu thức ta có:

\( \frac{2}{2k + 1} = \frac{v}{f} \)

\( \frac{2}{2k + 1} = \frac{6}{f} \)

\( f = \frac{6(2k + 1)}{2} = 3(2k + 1) \)

Chúng ta biết rằng \( 35 Hz \le f \le 44 Hz \). Thay biểu thức của \( f \) vào bất đẳng thức này:

\( 35 \le 3(2k + 1) \le 44 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải bất đẳng thức này để tìm các giá trị nguyên của \( k \).

Chia cả ba vế cho 3:

\( \frac{35}{3} \le 2k + 1 \le \frac{44}{3} \)

\( 11.67 \approx \frac{35}{3} \le 2k + 1 \le \frac{44}{3} \approx 14.67 \)

Trừ 1 từ cả ba vế:

\( 11.67 – 1 \le 2k \le 14.67 – 1 \)

\( 10.67 \le 2k \le 13.67 \)

Chia cả ba vế cho 2:

\( \frac{10.67}{2} \le k \le \frac{13.67}{2} \)

\( 5.335 \le k \le 6.835 \)

Vì \( k \) phải là một số nguyên không âm, nên giá trị duy nhất của \( k \) thỏa mãn là \( k = 6 \).

Tính bước sóng:

Với \( k = 6 \), chúng ta thay vào công thức tính bước sóng:

\( \lambda = \frac{2}{2k + 1} \)

\( \lambda = \frac{2}{2(6) + 1} = \frac{2}{12 + 1} = \frac{2}{13} \)

Bây giờ, chúng ta tính giá trị thập phân của bước sóng và làm tròn đến hàng phần trăm:

\( \lambda = \frac{2}{13} \approx 0.153846… \)

Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được \( \lambda \approx 0.15 m \).

Kiểm tra lại:

Nếu \( \lambda = \frac{2}{13} m \), thì tần số tương ứng là:

\( f = \frac{v}{\lambda} = \frac{6}{\frac{2}{13}} = 6 \times \frac{13}{2} = 3 \times 13 = 39 Hz \).

Giá trị \( f = 39 Hz \) nằm trong khoảng từ \( 35 Hz \) đến \( 44 Hz \), do đó kết quả của chúng ta là hợp lý.

Kết luận:

Bước sóng là \( \lambda \approx 0.15 \) mét.