Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, cô/thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài toán tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức này nhé. Đây là một dạng bài rất thú vị và đòi hỏi chúng ta phải tư duy logic một chút.

Đề bài: Tìm GTLN của biểu thức \( A = \frac{7}{3} – 2\sqrt{x^2 + 9} \)

Lời giải chi tiết:

Để tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \), chúng ta cần quan sát cấu trúc của \( A \).

Biểu thức \( A \) có dạng: Một số không đổi (\( \frac{7}{3} \)) trừ đi một biểu thức khác (\( 2\sqrt{x^2 + 9} \)).

Vậy, để \( A \) đạt giá trị lớn nhất, thì phần bị trừ đi (là \( 2\sqrt{x^2 + 9} \)) phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Chúng ta hãy xét biểu thức \( 2\sqrt{x^2 + 9} \):

1. Đầu tiên, hãy xét số hạng \( x^2 \).

   Chúng ta biết rằng, với mọi số thực \( x \), bình phương của \( x \) luôn không âm:

   \( x^2 \ge 0 \)

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( x = 0 \).

2. Tiếp theo, ta xét số hạng \( x^2 + 9 \).

   Vì \( x^2 \ge 0 \), nên khi cộng thêm 9 vào, ta có:

   \( x^2 + 9 \ge 0 + 9 \)

   \( x^2 + 9 \ge 9 \)

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( x = 0 \).

3. Bây giờ, chúng ta xét đến căn bậc hai \( \sqrt{x^2 + 9} \).

   Vì \( x^2 + 9 \ge 9 \), nên khi lấy căn bậc hai (chúng ta chỉ xét căn bậc hai không âm), ta được:

   \( \sqrt{x^2 + 9} \ge \sqrt{9} \)

   \( \sqrt{x^2 + 9} \ge 3 \)

   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( x = 0 \).

4. Cuối cùng, ta xét biểu thức \( 2\sqrt{x^2 + 9} \).

   Vì \( \sqrt{x^2 + 9} \ge 3 \), nên khi nhân với 2 (là một số dương), bất đẳng thức vẫn giữ nguyên chiều:

   \( 2\sqrt{x^2 + 9} \ge 2 \times 3 \)

   \( 2\sqrt{x^2 + 9} \ge 6 \)

   Vậy, giá trị nhỏ nhất của \( 2\sqrt{x^2 + 9} \) là 6. Giá trị này đạt được khi \( x = 0 \).

Quay trở lại biểu thức \( A = \frac{7}{3} – 2\sqrt{x^2 + 9} \):

Để \( A \) đạt giá trị lớn nhất, thì \( 2\sqrt{x^2 + 9} \) phải đạt giá trị nhỏ nhất, tức là bằng 6.

Khi đó:

\( A_{max} = \frac{7}{3} – 6 \)

\( A_{max} = \frac{7}{3} – \frac{18}{3} \)

\( A_{max} = \frac{7 – 18}{3} \)

\( A_{max} = -\frac{11}{3} \)

Giá trị lớn nhất này đạt được khi \( x = 0 \).

Kết luận:

Giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là \( -\frac{11}{3} \), đạt được khi \( x = 0 \).

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!