Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về dao động điều hòa khá thú vị, liên quan đến mối liên hệ giữa li độ và vận tốc của vật. Đây là một dạng bài thường gặp, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững công thức cơ bản.

Đề bài: Một dao động điều hòa có vận tốc và li độ tại thời điểm \(t_1\) và \(t_2\) tương ứng là: \(v_1 = 20 \text{ cm/s}\); \(x_1 = 8\sqrt{3} \text{ cm}\) và \(v_2 = 20\sqrt{2} \text{ cm/s}\); \(x_2 = 8\sqrt{2} \text{ cm}\). Biên độ dao động của vật bằng bao nhiêu cm?

Để giải bài này, chúng ta sẽ sử dụng công thức độc lập với thời gian trong dao động điều hòa, liên hệ giữa biên độ \(A\), li độ \(x\) và vận tốc \(v\).

Phương pháp giải:

Công thức liên hệ giữa biên độ \(A\), li độ \(x\), vận tốc \(v\) và tần số góc \(\omega\) của một vật dao động điều hòa là:

\(A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}\)
Hoặc có thể viết dưới dạng \(v^2 = \omega^2(A^2 – x^2)\)

Chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho hai thời điểm \(t_1\) và \(t_2\) để thiết lập một hệ phương trình, từ đó tìm ra biên độ \(A\).

Giải chi tiết:

Bước 1: Áp dụng công thức tại thời điểm \(t_1\)

Tại thời điểm \(t_1\), ta có: \(v_1 = 20 \text{ cm/s}\) và \(x_1 = 8\sqrt{3} \text{ cm}\).

Thay vào công thức liên hệ:

\(A^2 = x_1^2 + \frac{v_1^2}{\omega^2}\)
\(A^2 = (8\sqrt{3})^2 + \frac{(20)^2}{\omega^2}\)
\(A^2 = (64 \times 3) + \frac{400}{\omega^2}\)
\(A^2 = 192 + \frac{400}{\omega^2}\) (Phương trình 1)

Bước 2: Áp dụng công thức tại thời điểm \(t_2\)

Tại thời điểm \(t_2\), ta có: \(v_2 = 20\sqrt{2} \text{ cm/s}\) và \(x_2 = 8\sqrt{2} \text{ cm}\).

Thay vào công thức liên hệ:

\(A^2 = x_2^2 + \frac{v_2^2}{\omega^2}\)
\(A^2 = (8\sqrt{2})^2 + \frac{(20\sqrt{2})^2}{\omega^2}\)
\(A^2 = (64 \times 2) + \frac{(400 \times 2)}{\omega^2}\)
\(A^2 = 128 + \frac{800}{\omega^2}\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn là \(A^2\) và \(\frac{1}{\omega^2}\):

(1) \(A^2 = 192 + \frac{400}{\omega^2}\)
(2) \(A^2 = 128 + \frac{800}{\omega^2}\)

Để tìm giá trị của \(A\), ta có thể trừ phương trình (1) cho phương trình (2) (hoặc ngược lại) để khử \(A^2\):

\((A^2 – A^2) = (192 + \frac{400}{\omega^2}) – (128 + \frac{800}{\omega^2})\)
\(0 = 192 – 128 + \frac{400}{\omega^2} – \frac{800}{\omega^2}\)
\(0 = 64 – \frac{400}{\omega^2}\)
\( \frac{400}{\omega^2} = 64\)
\( \omega^2 = \frac{400}{64} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}\)

Bước 4: Tính biên độ \(A\)

Bây giờ, ta thay giá trị của \(\frac{400}{\omega^2}\) (hoặc \(\omega^2\)) vào một trong hai phương trình ban đầu. Ta chọn phương trình (1):

\(A^2 = 192 + \frac{400}{\omega^2}\)

Với \(\frac{400}{\omega^2} = 64\), ta có:

\(A^2 = 192 + 64\)
\(A^2 = 256\)

Lấy căn bậc hai hai vế để tìm \(A\):

\(A = \sqrt{256}\)
\(A = 16 \text{ cm}\)

Vậy, biên độ dao động của vật là 16 cm.

Các em nhớ rằng công thức độc lập với thời gian là một công cụ rất mạnh trong việc giải các bài tập dao động điều hòa khi chúng ta biết li độ và vận tốc tại các thời điểm khác nhau. Chúc các em học tốt!