Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán quen thuộc về khảo sát hàm số, cụ thể là tìm điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán 12.

Đề bài: Cho hàm số \(y = x^3 – 3x^2 + 2\). Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:
A. (0; 2)
B. (2; -2)
C. (1; 0)
D. (0; -2)

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau đây để tìm ra đáp án chính xác nhé:

Bước 1: Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số.

Hàm số đã cho là: \(y = x^3 – 3x^2 + 2\)
Đạo hàm bậc nhất của hàm số là \(y’\):
\(y’ = (x^3 – 3x^2 + 2)’\)
\(y’ = 3x^{3-1} – 3 \cdot 2x^{2-1} + 0\)
\(y’ = 3x^2 – 6x\)

Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \(y’ = 0\).

Ta cho đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm tới hạn (điểm mà tại đó có thể xảy ra cực trị):
\(y’ = 0 \Leftrightarrow 3x^2 – 6x = 0\)
Ta có thể đặt nhân tử chung \(3x\) ra ngoài:
\(3x(x – 2) = 0\)
Từ phương trình này, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(3x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
Trường hợp 2: \(x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy, hàm số có hai điểm tới hạn là \(x = 0\) và \(x = 2\).

Bước 3: Xác định xem điểm nào là cực tiểu, điểm nào là cực đại (hoặc không phải).

Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm bậc hai hoặc xét dấu của đạo hàm bậc nhất.

Cách 1: Sử dụng quy tắc đạo hàm bậc hai.

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số (\(y”\)):
\(y” = (3x^2 – 6x)’\)
\(y” = 3 \cdot 2x – 6\)
\(y” = 6x – 6\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị \(x\) tìm được ở Bước 2 vào \(y”\):

• Với \(x = 0\):
  \(y”(0) = 6(0) – 6 = -6\)
  Vì \(y”(0) < 0\), nên tại \(x = 0\), hàm số đạt cực đại.
• Với \(x = 2\):
  \(y”(2) = 6(2) – 6 = 12 – 6 = 6\)
  Vì \(y”(2) > 0\), nên tại \(x = 2\), hàm số đạt cực tiểu.

Cách 2: Lập bảng xét dấu của đạo hàm bậc nhất (\(y’\)).

Chúng ta có \(y’ = 3x(x – 2)\). Các nghiệm của \(y’ = 0\) là \(x = 0\) và \(x = 2\).

Nhận xét từ bảng xét dấu:

• Khi \(x\) đi qua \(0\), \(y’\) đổi dấu từ dương sang âm, vậy tại \(x = 0\) hàm số đạt cực đại.
• Khi \(x\) đi qua \(2\), \(y’\) đổi dấu từ âm sang dương, vậy tại \(x = 2\) hàm số đạt cực tiểu.

Cả hai cách đều cho kết quả thống nhất: hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu để tìm tọa độ điểm cực tiểu.

Chúng ta đã xác định cực tiểu xảy ra tại \(x = 2\). Bây giờ, thay \(x = 2\) vào hàm số gốc \(y = x^3 – 3x^2 + 2\):
\(y(2) = (2)^3 – 3(2)^2 + 2\)
\(y(2) = 8 – 3(4) + 2\)
\(y(2) = 8 – 12 + 2\)
\(y(2) = -4 + 2\)
\(y(2) = -2\)

Vậy, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \((2; -2)\).

Bước 5: So sánh với các phương án đã cho.

A. (0; 2)
B. (2; -2)
C. (1; 0)
D. (0; -2)

Điểm cực tiểu chúng ta tìm được là \((2; -2)\), trùng khớp với phương án B.

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách tìm điểm cực tiểu của hàm số. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!