Bài toán: Cho \(1 + 2 + 3 + \dots + n = 210\). Tìm \(n\).

Yêu cầu: Tìm \(n\) mà không được thử từng số. Chúng ta cần tìm một phương pháp khoa học để giải bài toán này.

Phân tích:

Dãy số \(1, 2, 3, \dots, n\) là một cấp số cộng có:

• Số hạng đầu \(a_1 = 1\)
• Số hạng cuối \(a_n = n\)
• Công sai \(d = 1\)
• Số lượng số hạng là \(n\)

Công thức tính tổng của một cấp số cộng là:

\(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\)

Áp dụng công thức này vào bài toán của chúng ta, ta có:

\(S_n = \frac{n}{2}(1 + n)\)

Đề bài cho biết tổng này bằng 210, vậy ta có phương trình:

\(\frac{n}{2}(1 + n) = 210\)

Giải phương trình:

Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình với 2 để loại bỏ mẫu số.

\(n(1 + n) = 210 \times 2\)

\(n(1 + n) = 420\)

Bước 2: Khai triển biểu thức ở vế trái.

\(n + n^2 = 420\)

Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành một phương trình bậc hai.

\(n^2 + n – 420 = 0\)

Bước 4: Tìm \(n\). Vì yêu cầu là không được thử từng số, chúng ta cần tìm cách giải phương trình bậc hai này. Một cách là phân tích đa thức thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm.

Đối với bài toán này, chúng ta có thể suy luận dựa trên tính chất của \(n(n+1) = 420\). Chúng ta cần tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 420.

Chúng ta có thể ước lượng:

• \(20 \times 21 = 420\)

Vậy, ta có thể thấy rằng \(n = 20\).

Kiểm tra lại:

Nếu \(n = 20\), thì tổng \(1 + 2 + 3 + \dots + 20\) là:

\(\frac{20}{2}(1 + 20) = 10 \times 21 = 210\)

Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với đề bài.

Vậy, giá trị của \(n\) là 20.

Các em thấy đấy, với kiến thức về công thức tính tổng cấp số cộng, chúng ta có thể giải bài toán một cách nhanh chóng và chính xác mà không cần phải thử từng con số.