Đề bài: Cho một chất điểm chuyển động thẳng chậm dần đều. Tính thời gian chuyển động đến khi dừng lại. Biết quãng đường chất điểm đi được trong 2s đầu lớn hơn quãng đường đi được trong 2 giây cuối 144m và tổng quãng đường đi được trong 2 khoảng thời gian đó là 160m.

Trước tiên, chúng ta hãy tóm tắt lại các thông tin quan trọng mà đề bài cung cấp:

• Chuyển động: thẳng chậm dần đều.
• Dữ kiện 1: \(S_{2s \text{ đầu}} – S_{2s \text{ cuối}} = 144 \, m\).
• Dữ kiện 2: \(S_{2s \text{ đầu}} + S_{2s \text{ cuối}} = 160 \, m\).
• Yêu cầu: Tính thời gian chuyển động đến khi dừng lại.

Để giải bài toán này một cách dễ hiểu, chúng ta sẽ gọi:

• \(v_0\) là vận tốc ban đầu của chất điểm (tại thời điểm \(t=0\)).
• \(a\) là gia tốc của chuyển động. Vì là chuyển động chậm dần đều, nên \(a < 0\).
• \(T\) là tổng thời gian chuyển động của chất điểm cho đến khi dừng lại.

Khi chất điểm dừng lại, vận tốc của nó bằng 0. Ta có công thức liên hệ giữa vận tốc, gia tốc và thời gian: \(v = v_0 + at\). Do đó, khi \(v=0\), ta có \(v_0 + aT = 0\), suy ra \(T = -\frac{v_0}{a}\).

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích các quãng đường mà đề bài đề cập.

Quãng đường đi được trong 2s đầu tiên:

Ta tính từ thời điểm \(t=0\) đến \(t=2s\). Áp dụng công thức quãng đường:

\(S = v_0t + \frac{1}{2}at^2\)

Vậy, quãng đường đi được trong 2s đầu là:

\(S_{2s \text{ đầu}} = v_0(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 2v_0 + 2a\) (Phương trình 1)

Quãng đường đi được trong 2 giây cuối cùng:

Vì tổng thời gian chuyển động là \(T\), nên 2 giây cuối cùng sẽ tính từ thời điểm \(t = T-2\) đến \(t = T\).
Để tính quãng đường này, chúng ta có thể tính quãng đường đi được từ \(t=0\) đến \(t=T\) (là tổng quãng đường đi được cho đến khi dừng lại, ta gọi là \(S_{total}\)) và trừ đi quãng đường đi được từ \(t=0\) đến \(t = T-2\).
Hoặc, chúng ta có thể tính vận tốc tại thời điểm \(t=T-2\) và áp dụng công thức quãng đường cho khoảng thời gian 2 giây đó.

Cách thứ hai có vẻ trực quan hơn: Vận tốc tại thời điểm \(t = T-2\) là:

\(v_{T-2} = v_0 + a(T-2)\)

Quãng đường đi được trong 2 giây cuối là quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ \(t_1 = T-2\) đến \(t_2 = T\).
Ta có thể coi chuyển động trong khoảng thời gian này bắt đầu với vận tốc \(v_{T-2}\) và gia tốc \(a\), trong khoảng thời gian \(\Delta t = T – (T-2) = 2s\).
Quãng đường đi được trong 2 giây cuối là:

\(S_{2s \text{ cuối}} = v_{T-2}(2) + \frac{1}{2}a(2)^2\)
\(S_{2s \text{ cuối}} = (v_0 + a(T-2))(2) + 2a\)
\(S_{2s \text{ cuối}} = 2v_0 + 2a(T-2) + 2a\)
\(S_{2s \text{ cuối}} = 2v_0 + 2aT – 4a + 2a\)
\(S_{2s \text{ cuối}} = 2v_0 + 2aT – 2a\)

Tuy nhiên, chúng ta đã biết \(v_0 + aT = 0\), nên \(2aT = -2v_0\). Thay vào biểu thức trên:

\(S_{2s \text{ cuối}} = 2v_0 + (-2v_0) – 2a\)
\(S_{2s \text{ cuối}} = -2a\) (Phương trình 2)

Bây giờ, chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(S_{2s \text{ đầu}}\) và \(S_{2s \text{ cuối}}\) từ đề bài:

1. \(S_{2s \text{ đầu}} – S_{2s \text{ cuối}} = 144\)
2. \(S_{2s \text{ đầu}} + S_{2s \text{ cuối}} = 160\)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách cộng hoặc trừ hai phương trình.

Cộng hai phương trình:

\((S_{2s \text{ đầu}} – S_{2s \text{ cuối}}) + (S_{2s \text{ đầu}} + S_{2s \text{ cuối}}) = 144 + 160\)
\(2S_{2s \text{ đầu}} = 304\)
\(S_{2s \text{ đầu}} = \frac{304}{2} = 152 \, m\)

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai:

\((S_{2s \text{ đầu}} + S_{2s \text{ cuối}}) – (S_{2s \text{ đầu}} – S_{2s \text{ cuối}}) = 160 – 144\)
\(2S_{2s \text{ cuối}} = 16\)
\(S_{2s \text{ cuối}} = \frac{16}{2} = 8 \, m\)

Vậy là chúng ta đã tìm được quãng đường đi được trong 2s đầu và 2s cuối.

Bây giờ, chúng ta sẽ quay lại các công thức chúng ta đã thiết lập:

• Phương trình 1: \(S_{2s \text{ đầu}} = 2v_0 + 2a\)
• Phương trình 2: \(S_{2s \text{ cuối}} = -2a\)

Chúng ta đã có \(S_{2s \text{ đầu}} = 152 \, m\) và \(S_{2s \text{ cuối}} = 8 \, m\).

Từ Phương trình 2, ta có:

\(8 = -2a\)
\(a = \frac{8}{-2} = -4 \, m/s^2\)

Vì \(a < 0\), điều này phù hợp với chuyển động chậm dần đều.

Bây giờ, chúng ta sử dụng Phương trình 1 để tìm \(v_0\):

\(152 = 2v_0 + 2a\)
\(152 = 2v_0 + 2(-4)\)
\(152 = 2v_0 – 8\)
\(2v_0 = 152 + 8\)
\(2v_0 = 160\)
\(v_0 = \frac{160}{2} = 80 \, m/s\)

Cuối cùng, chúng ta cần tính thời gian chuyển động đến khi dừng lại, là \(T\).

Chúng ta có công thức \(T = -\frac{v_0}{a}\).

\(T = -\frac{80}{-4}\)
\(T = 20 \, s\)

Vậy, thời gian chuyển động của chất điểm cho đến khi dừng lại là 20 giây.

Để kiểm tra lại, chúng ta có thể tính quãng đường đi được trong 2s đầu và 2s cuối với \(v_0 = 80 \, m/s\) và \(a = -4 \, m/s^2\).

\(S_{2s \text{ đầu}} = 2(80) + \frac{1}{2}(-4)(2)^2 = 160 – 8 = 152 \, m\) (Đúng)

Thời điểm bắt đầu 2 giây cuối là \(T-2 = 20-2 = 18s\). Vận tốc tại thời điểm 18s là \(v_{18} = v_0 + a(18) = 80 + (-4)(18) = 80 – 72 = 8 \, m/s\).

\(S_{2s \text{ cuối}} = v_{18}(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 = 8(2) + \frac{1}{2}(-4)(2)^2 = 16 – 8 = 8 \, m\) (Đúng)

Và \(152 – 8 = 144 \, m\), \(152 + 8 = 160 \, m\). Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn.

Kết luận: Thời gian chuyển động của chất điểm đến khi dừng lại là 20 giây.

Các em thấy không, với việc phân tích cẩn thận từng bước và áp dụng đúng công thức, chúng ta có thể giải quyết bài toán này một cách dễ dàng. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!