Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chứng minh đẳng thức khá thú vị, sử dụng các kiến thức về hằng đẳng thức và biến đổi đại số mà chúng ta đã học.

Đề bài: Cho \(10x^2 = 10y^2 + z^2\). Chứng minh rằng:
\( ( 7x – 3y + 2z ) ( 7x – 3y – 2z ) = ( 3x – 7y )^2 \)

Trước khi bắt tay vào giải, các em hãy nhớ lại các hằng đẳng thức quan trọng mà chúng ta đã học nhé:

1. Hiệu hai bình phương: \(A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\)

2. Bình phương của một hiệu: \((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)

Giờ thì chúng ta bắt đầu phân tích và giải bài toán này!

Phân tích đề bài:

Chúng ta được cho một mối liên hệ giữa \(x, y, z\): \(10x^2 = 10y^2 + z^2\).
Từ đây, chúng ta có thể suy ra \(z^2 = 10x^2 – 10y^2\). Đây sẽ là chìa khóa để chúng ta thay thế vào biểu thức cần chứng minh.

Chúng ta cần chứng minh một đẳng thức có hai vế. Cách làm thông thường là biến đổi một vế (thường là vế phức tạp hơn) về vế còn lại, hoặc biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian.

Bắt đầu giải:

Bước 1: Biến đổi Vế trái (VT) của đẳng thức cần chứng minh.

Vế trái là: \( ( 7x – 3y + 2z ) ( 7x – 3y – 2z ) \)

Các em có nhận ra dạng hằng đẳng thức nào ở đây không? Đúng rồi, đó chính là hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương”: \((A + B)(A – B) = A^2 – B^2\).

Trong trường hợp này, chúng ta xem \(A = (7x – 3y)\) và \(B = 2z\).

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

VT \( = (7x – 3y)^2 – (2z)^2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển từng phần:

Khai triển \((7x – 3y)^2\) bằng hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu”: \((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\)

\((7x – 3y)^2 = (7x)^2 – 2(7x)(3y) + (3y)^2 \)

\( = 49x^2 – 42xy + 9y^2 \)

Và \((2z)^2 = 4z^2\)

Vậy, VT \( = 49x^2 – 42xy + 9y^2 – 4z^2 \)

Bước 2: Thay thế \(z^2\) từ giả thiết vào biểu thức của VT.

Từ giả thiết, chúng ta có \(10x^2 = 10y^2 + z^2\), suy ra \(z^2 = 10x^2 – 10y^2\).

Thay \(z^2 = 10x^2 – 10y^2\) vào biểu thức của VT mà chúng ta vừa tìm được:

VT \( = 49x^2 – 42xy + 9y^2 – 4(10x^2 – 10y^2) \)

Tiếp tục rút gọn:

VT \( = 49x^2 – 42xy + 9y^2 – 40x^2 + 40y^2 \)

Gộp các hạng tử đồng dạng:

VT \( = (49x^2 – 40x^2) – 42xy + (9y^2 + 40y^2) \)

VT \( = 9x^2 – 42xy + 49y^2 \)

Chúng ta đã biến đổi Vế trái đến dạng này. Bây giờ, hãy xem xét Vế phải.

Bước 3: Biến đổi Vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh.

Vế phải là: \( ( 3x – 7y )^2 \)

Đây chính là hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu”: \((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Với \(A = 3x\) và \(B = 7y\), ta có:

VP \( = (3x)^2 – 2(3x)(7y) + (7y)^2 \)

VP \( = 9x^2 – 42xy + 49y^2 \)

Bước 4: So sánh Vế trái và Vế phải.

Sau khi biến đổi, chúng ta thấy:

Vế trái \( = 9x^2 – 42xy + 49y^2 \)

Vế phải \( = 9x^2 – 42xy + 49y^2 \)

Vì Vế trái bằng Vế phải, nên đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

Vậy, với điều kiện \(10x^2 = 10y^2 + z^2\), chúng ta đã chứng minh được rằng:

\( ( 7x – 3y + 2z ) ( 7x – 3y – 2z ) = ( 3x – 7y )^2 \)

Bài toán này giúp các em ôn lại và vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ, cũng như kỹ năng thay thế và rút gọn biểu thức đại số. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài như thế này để nắm vững kiến thức nhé!

Chúc các em học tốt!