Kính chào các em học sinh lớp 8,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập về biểu thức đại số. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Chúng ta hãy cùng phân tích và giải từng phần nhé!

Đề bài cho hai biểu thức:

\(A=(x-8)/(x+8)\)

\(B=x/(x-3)-(x-21)/(9-x^2)+1/(x+3)\)

Với điều kiện: \(x\ne±3; x\ne±8\)

a) Chứng minh: \(B=(x+8)/(x+3)\)

Để chứng minh đẳng thức này, chúng ta cần rút gọn biểu thức B.

Trước hết, ta phân tích các mẫu số:

• \(x-3\)
• \(9-x^2 = -(x^2-9) = -(x-3)(x+3)\)
• \(x+3\)

Mẫu số chung của các phân thức trong B là \((x-3)(x+3)\).

Ta viết lại biểu thức B, chuyển dấu trừ ở mẫu số thứ hai lên tử số hoặc ra ngoài (để mẫu số trở thành \((x-3)(x+3)\)):

\(B = x/(x-3) – (x-21)/(9-x^2) + 1/(x+3)\)

\(B = x/(x-3) + (x-21)/(x^2-9) + 1/(x+3)\)

\(B = x/(x-3) + (x-21)/((x-3)(x+3)) + 1/(x+3)\)

Quy đồng mẫu số:

\(B = (x (x+3))/((x-3)(x+3)) + (x-21)/((x-3)(x+3)) + (1 (x-3))/((x-3)(x+3))\)

\(B = (x^2+3x + x-21 + x-3)/((x-3)(x+3))\)

Gộp các hạng tử ở tử số:

\(B = (x^2 + (3x+x+x) – (21+3))/((x-3)(x+3))\)

\(B = (x^2 + 5x – 24)/((x-3)(x+3))\)

Tiếp theo, ta phân tích tử số \(x^2 + 5x – 24\) thành nhân tử.

Ta cần tìm hai số có tích bằng -24 và tổng bằng 5. Hai số đó là 8 và -3.

Vậy, \(x^2 + 5x – 24 = (x+8)(x-3)\)

Thay tử số đã phân tích vào biểu thức B:

\(B = ((x+8)(x-3))/((x-3)(x+3))\)

Với điều kiện \(x\ne3\) (theo đề bài), ta có thể rút gọn nhân tử \((x-3)\) ở tử và mẫu:

\(B = (x+8)/(x+3)\)

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \(B=(x+8)/(x+3)\).

b) Đặt \(P=A*B\). Cho biết \(x\ge0; x\ne-3\). Tìm \(x\) để \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước hết, ta xác định biểu thức P.

\(P = A * B\)

Thay A và B (đã được chứng minh ở câu a) vào:

\(P = ((x-8)/(x+8)) * ((x+8)/(x+3))\)

Với điều kiện \(x\ne-8\) (điều kiện ban đầu \(x\ne±8\), và \(x\ge0\) đã loại bỏ \(x=-8\)), ta có thể rút gọn nhân tử \((x+8)\) ở tử và mẫu:

\(P = (x-8)/(x+3)\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P với điều kiện \(x\ge0\) và \(x\ne3\) (từ điều kiện ban đầu \(x\ne±3\), \(x\ne±8\), kết hợp với \(x\ge0; x\ne-3\), các điều kiện còn lại cần lưu ý là \(x\ne3\)).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của P, ta có thể biến đổi biểu thức P:

\(P = (x-8)/(x+3)\)

Tách tử số để xuất hiện mẫu số:

\(P = (x+3-11)/(x+3)\)

\(P = (x+3)/(x+3) – 11/(x+3)\)

\(P = 1 – 11/(x+3)\)

Để P đạt giá trị nhỏ nhất, thì \(11/(x+3)\) phải đạt giá trị lớn nhất (vì có dấu trừ phía trước).

Để phân số \(11/(x+3)\) đạt giá trị lớn nhất, thì mẫu số \(x+3\) phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Theo điều kiện đề bài, \(x\ge0\).

Với \(x\ge0\), giá trị nhỏ nhất của \(x\) là \(0\).

Khi \(x=0\), thì \(x+3 = 0+3 = 3\).

Kiểm tra các điều kiện xác định: \(x=0\) thỏa mãn \(x\ge0\), \(x\ne3\), \(x\ne8\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(x+3\) là \(3\), khi \(x=0\).

Khi đó, giá trị của P là:

\(P = 1 – 11/(0+3)\)

\(P = 1 – 11/3\)

\(P = 3/3 – 11/3\)

\(P = -8/3\)

Để khẳng định đây là giá trị nhỏ nhất, ta xét tính chất của hàm số. Với \(x\ge0\), khi \(x\) tăng thì \(x+3\) tăng, suy ra \(11/(x+3)\) giảm. Do đó, \(1 – 11/(x+3)\) sẽ tăng. Điều này có nghĩa là hàm số P đồng biến trên miền \(x\ge0\). Vậy, giá trị nhỏ nhất của P sẽ đạt được tại giá trị nhỏ nhất của \(x\) trong miền xác định, đó là \(x=0\).

Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của P là \(-8/3\) khi \(x=0\).

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ bài toán. Chúc các em học tốt!