Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về sự cân bằng nhiệt. Đây là một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Vật lý 10 của chúng ta. Hãy cùng đọc kỹ đề bài và phân tích nhé!

Đề bài: Cho 2 bình nước, bình thứ nhất có nhiệt độ ban đầu là \(t_1 = 60^oC\). Múc nước từ bình 1 qua bình 2 bằng một cái ca, ta thu được nhiệt độ cân bằng ở bình 2 lần lượt là 20 độ, x độ, 32,5 độ, bỏ qua trao đổi nhiệt với môi trường. Tìm x.

Phân tích bài toán:

Đây là bài toán về sự trao đổi nhiệt giữa các lượng nước ở nhiệt độ khác nhau. Nguyên tắc chính chúng ta sử dụng là định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng “Nhiệt lượng tỏa ra bằng nhiệt lượng thu vào”.

Cụm từ “nhiệt độ cân bằng ở bình 2 lần lượt là 20 độ, x độ, 32,5 độ” cần được hiểu như sau:

• Ban đầu, bình 2 có nước ở nhiệt độ \(t_{2\_ban\_đầu} = 20^oC\).
• Sau lần múc thứ nhất (đổ nước từ bình 1 sang bình 2), nhiệt độ cân bằng mới của bình 2 là \(x^oC\).
• Sau lần múc thứ hai (tiếp tục đổ nước từ bình 1 sang bình 2), nhiệt độ cân bằng mới của bình 2 là \(32.5^oC\).

Chúng ta bỏ qua sự trao đổi nhiệt với môi trường và với thành bình. Nhiệt dung riêng của nước (\(c\)) là như nhau cho mọi lượng nước và sẽ rút gọn trong các phương trình.

Các đại lượng cần ký hiệu:

• Nhiệt độ nước trong bình 1: \(t_1 = 60^oC\).
• Khối lượng nước trong bình 2 ban đầu: \(m_2\).
• Khối lượng nước mỗi lần múc bằng ca: \(m_c\). (Đây là đại lượng không đổi mỗi lần múc).
• Nhiệt dung riêng của nước: \(c\).

Quá trình giải:

1. Lần múc thứ nhất:

Nước trong bình 2 ban đầu có khối lượng \(m_2\) và nhiệt độ \(t_{2\_ban\_đầu} = 20^oC\).
Ta múc một lượng nước có khối lượng \(m_c\) từ bình 1 (ở nhiệt độ \(t_1 = 60^oC\)) đổ vào bình 2.
Nhiệt độ cân bằng sau lần múc thứ nhất là \(t_{cb1} = x^oC\).

Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt:

\(Q_{thu} = Q_{tỏa}\)

Nhiệt lượng nước trong bình 2 thu vào:

\(Q_{thu1} = m_2 \cdot c \cdot (x – 20)\)

Nhiệt lượng nước từ ca múc tỏa ra:

\(Q_{tỏa1} = m_c \cdot c \cdot (60 – x)\)

Từ đó ta có:

\(m_2 \cdot c \cdot (x – 20) = m_c \cdot c \cdot (60 – x)\)

Rút gọn \(c\) ở cả hai vế:

\(m_2 \cdot (x – 20) = m_c \cdot (60 – x)\) (Phương trình 1)

Từ phương trình này, ta có thể biểu diễn tỉ số khối lượng:

\(\frac{m_2}{m_c} = \frac{60 – x}{x – 20}\)

2. Lần múc thứ hai:

Trước khi múc lần thứ hai, bình 2 đang chứa một lượng nước có tổng khối lượng là \(m_2 + m_c\) và nhiệt độ là \(x^oC\).
Ta lại múc thêm một lượng nước có khối lượng \(m_c\) từ bình 1 (ở nhiệt độ \(t_1 = 60^oC\)) đổ vào bình 2.
Nhiệt độ cân bằng sau lần múc thứ hai là \(t_{cb2} = 32.5^oC\).

Áp dụng phương trình cân bằng nhiệt:

\(Q_{thu} = Q_{tỏa}\)

Nhiệt lượng nước trong bình 2 (tổng cộng \(m_2 + m_c\)) thu vào:

\(Q_{thu2} = (m_2 + m_c) \cdot c \cdot (32.5 – x)\)

Nhiệt lượng nước từ ca múc thứ hai tỏa ra:

\(Q_{tỏa2} = m_c \cdot c \cdot (60 – 32.5)\)

Từ đó ta có:

\((m_2 + m_c) \cdot c \cdot (32.5 – x) = m_c \cdot c \cdot (60 – 32.5)\)

Rút gọn \(c\) và tính hiệu nhiệt độ:

\((m_2 + m_c) \cdot (32.5 – x) = m_c \cdot (27.5)\) (Phương trình 2)

3. Giải hệ phương trình:

Ta có hai phương trình với \(m_2\), \(m_c\) và \(x\):

Từ Phương trình 1: \(\frac{m_2}{m_c} = \frac{60 – x}{x – 20}\)

Chia cả hai vế của Phương trình 2 cho \(m_c\):

\(\left(\frac{m_2}{m_c} + 1\right) \cdot (32.5 – x) = 27.5\)

Thay \(\frac{m_2}{m_c}\) từ Phương trình 1 vào biểu thức này:

\(\left(\frac{60 – x}{x – 20} + 1\right) \cdot (32.5 – x) = 27.5\)

Quy đồng mẫu số trong dấu ngoặc đơn:

\(\left(\frac{60 – x + (x – 20)}{x – 20}\right) \cdot (32.5 – x) = 27.5\)

\(\left(\frac{40}{x – 20}\right) \cdot (32.5 – x) = 27.5\)

Nhân chéo hai vế:

\(40 \cdot (32.5 – x) = 27.5 \cdot (x – 20)\)

Phân phối các thừa số:

\(40 \cdot 32.5 – 40x = 27.5x – 27.5 \cdot 20\)

\(1300 – 40x = 27.5x – 550\)

Chuyển các số hạng chứa \(x\) về một vế và các hằng số về vế còn lại:

\(1300 + 550 = 27.5x + 40x\)

\(1850 = 67.5x\)

Tìm \(x\):

\(x = \frac{1850}{67.5}\)

Để dễ tính toán hơn, ta có thể nhân cả tử và mẫu với 10:

\(x = \frac{18500}{675}\)

Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho 25):

\(x = \frac{740}{27}\)

Thực hiện phép chia (có thể để dạng phân số hoặc xấp xỉ thập phân):

\(x \approx 27.41^oC\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(x\) là \(\frac{740}{27} \approx 27.41^oC\).

Các em nhớ rằng, khi giải các bài toán cân bằng nhiệt, điều quan trọng nhất là xác định rõ trạng thái ban đầu của từng vật, quá trình trao đổi nhiệt diễn ra như thế nào, và áp dụng đúng công thức \(Q_{thu} = Q_{tỏa}\). Chúc các em học tốt!