cho 2 số hữu tỉ x=a/m,y=b/m |a,b,m e Z,m>0|và x

Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em chứng minh một tính chất rất quan trọng và thú vị trong tập hợp số hữu tỉ. Đó là việc tìm một số hữu tỉ nằm chính giữa hai số hữu tỉ cho trước.

Để chứng minh bất đẳng thức x nhỏ hơn z và z nhỏ hơn y với z bằng tổng của x và y chia cho 2, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước logic dưới đây:

1. Phân tích giả thiết:

Chúng ta có hai số hữu tỉ x = a/m và y = b/m (với a, b, m là các số nguyên và m > 0). Vì đề bài cho x nhỏ hơn y, nên ta suy ra được a nhỏ hơn b.

2. Chứng minh x nhỏ hơn z:

Ta xét hiệu của z và x:

• z – x = ((a/m + b/m) / 2) – a/m
• z – x = ((a + b) / 2m) – (2a / 2m)
• z – x = (a + b – 2a) / 2m
• z – x = (b – a) / 2m

Vì b lớn hơn a nên (b – a) là một số dương. Vì m lớn hơn 0 nên 2m cũng là một số dương. Thương của hai số dương là một số dương, do đó z – x lớn hơn 0, hay nói cách khác là x nhỏ hơn z.

3. Chứng minh z nhỏ hơn y:

Tương tự như trên, ta xét hiệu của y và z:

• y – z = b/m – ((a/m + b/m) / 2)
• y – z = (2b / 2m) – ((a + b) / 2m)
• y – z = (2b – a – b) / 2m
• y – z = (b – a) / 2m

Tương tự như lập luận ở phần trên, vì b lớn hơn a nên (b – a) dương, dẫn đến y – z lớn hơn 0, hay nói cách khác là z nhỏ hơn y.

4. Kết luận:

Từ hai kết quả trên, ta thấy rằng x nhỏ hơn z và z lại nhỏ hơn y. Vậy ta đã chứng minh được x nhỏ hơn z và z nhỏ hơn y.

Lời nhắn từ thầy: Kết quả này cho chúng ta thấy một tính chất rất đặc biệt của tập hợp số hữu tỉ: Giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn tồn tại một số hữu tỉ khác. Điều này chứng tỏ tập hợp số hữu tỉ là trù mật trên trục số. Các em hãy ghi nhớ phương pháp xét hiệu này để áp dụng cho các bài tập so sánh khác nhé!