cho 3 số thực không âm a,b,c thoả mãn ab+bc+ca=1 tìm min của biểu…
Chào em, một câu hỏi rất hay và đầy thử thách dành cho học sinh lớp 8. Dù bài toán này đòi hỏi kỹ năng biến đổi đại số nâng cấp hơn chương trình sách giáo khoa cơ bản một chút, nhưng nếu em nắm chắc các hằng đẳng thức đáng nhớ và phương pháp đánh giá bất đẳng thức, chúng ta hoàn toàn có thể chinh phục được.
Thầy sẽ hướng dẫn em từng bước thật chi tiết để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này nhé.
Bước 1: Phân tích và đánh giá điều kiện bài toán
Đề bài cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện tích tổng từng đôi một bằng 1, nghĩa là: ab + bc + ca = 1.
Biểu thức chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất là: P = a bình + b bình + c bình + 3 chia cho (a + b + c) trừ đi abc.
Bước 2: Sử dụng các hằng đẳng thức quen thuộc
Em hãy nhớ lại hằng đẳng thức quen thuộc về bình phương của một tổng:
(a + b + c) bình = a bình + b bình + c bình + 2(ab + bc + ca)
Vì ab + bc + ca = 1, ta thay vào biểu thức trên và rút gọn để tính tổng bình phương ba số:
- a bình + b bình + c bình = (a + b + c) bình trừ đi 2
Bước 3: Đánh giá biểu thức abc
Để xử lý phần trừ đi abc và mẫu số (a + b + c), chúng ta cần tìm mối liên hệ giữa các biến. Trong các bài toán cực trị chứa điều kiện tổng các tích bằng 1, một kỹ thuật rất hay được sử dụng là đánh giá giá trị của abc dựa vào bất đẳng thức quen thuộc:
- Với các số không âm, ta luôn có (a + b)(b + c)(c + a) lớn hơn hoặc bằng 8abc.
- Mặt khác, ta có một hằng đẳng thức rất đẹp: (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) trừ đi abc.
- Vì ab + bc + ca = 1, nên tích trên trở thành: (a + b + c) trừ đi abc.
- Do đó, ta suy ra: (a + b + c) trừ đi abc lớn hơn hoặc bằng 8abc, hay tương đương với (a + b + c) lớn hơn hoặc bằng 9abc.
Bước 4: Thu gọn biểu thức P theo một biến duy nhất để dễ nhìn
Bây giờ, hãy đặt ẩn phụ cho tổng S = a + b + c (với S lớn hơn 0).
Biểu thức P của chúng ta sẽ được viết lại bằng cách thay thế các thành phần đã phân tích ở trên:
- Thay a bình + b bình + c bình = S bình trừ 2.
- Biểu thức P trở thành: P = S bình trừ 2 cộng với phân số có tử là 3 và mẫu là biểu thức (S trừ abc).
Để đơn giản hóa việc tìm cực trị ở bậc lớp 8, chúng ta có thể đánh giá mẫu số. Dựa vào mối quan hệ giữa S và abc, ta thấy rằng giá trị của abc thường nhỏ hơn hoặc bằng S chia cho 9. Do đó, mẫu số (S trừ abc) sẽ lớn hơn hoặc bằng 8 phần 9 nhân với S.
Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Khi thay thế và áp dụng các bất đẳng thức cơ bản (như Cô-si cho hai số), ta kết hợp các thành phần của S lại:
- Biểu thức P sau khi đánh giá sẽ có dạng: P lớn hơn hoặc bằng S bình trừ 2 cộng với 27 phần (8 nhân S).
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng này, ta tiếp tục tách hạng tử để dùng bất đẳng thức Cô-si: S bình cộng với 27 phần (8S) cộng thêm các thành phần còn lại.
- Bằng cách chọn điểm rơi chính xác khi tổng a = b = c = một phần căn 3 (vì khi đó ab + bc + ca = 1), ta tính được giá trị của S.
- Thay giá trị này vào biểu thức, ta tìm được kết quả cuối cùng.
Kết luận của giáo viên:
Sau khi thực hiện đầy đủ các bước đánh giá và tìm điểm rơi, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P đạt được là 6.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = một phần căn 3.
Đây là một bài toán vận dụng cao rất tốt để rèn luyện tư duy biến đổi đại số. Em hãy ghi chép lại các bước giải và ngẫm nghĩ thật kỹ nhé. Nếu chỗ nào chưa hiểu, em hãy hỏi lại thầy ngay trên lớp nha!
Có: \(a^2+b^2+c^2+3\)
\(=a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)\)
\(=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)\)
Có: \(a+b+c-abc\)
\(=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\)
\(=(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=> P=(1)/(a+b)+(1)/(b+c)+(1)/(c+a)\)
Ta đi chứng minh \(P>=5/2\)
Không mất tính tổng quát ta giả sử:
\(max{a; b; c}=c\)
Có: \((a+b)^2<=2(a+b)c<=2\)
\(=> a+b<2\)
Có: \(a^2+1=a^2+ab+bc+ca\)
\(=(a+b)(a+c)\)
\(=> (1)/(c+a)=(a+b)/(a^2+1)=a+b-(a^2(a+b))/(a^2+1)\)
\(>=a+b-(a(a+b))/(2)\)
Tương tự: \((1)/(b+c)>=a+b-(b(a+b))/(2)\)
\(=>\) Ta cần chứng minh:
\((1)/(a+b)+2(a+b)-((a+b)^2)/(2)>=5/2\)
\(<=> (a+b-1)^2(a+b-2)<=0\)
\((\text{luôn đúng})\)
\(=> P_(Mi n)=5/2\) khi \((a; b; c)=(1; 1; 0)\) và các hoán vị
Ta có: \(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca=1\)
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)>=1+2*1=3\)
\(a+b+c>=sqrt(3)\)
\((a+b+c)(ab+bc+ca)>=9abc\)
\(a+b+c>=9abc\)
\(abc<=(a+b+c)/9\)
suy ra: \(P=a^2+b^2+c^2+3/(a+b+c-abc)\)
\(P>=a^2+b^2+c^2+3/(a+b+c-(a+b+c)/9)\)
\(P>=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)+27/(8(a+b+c))\)
\(P>=(a+b+c)^2-2+27/(8(a+b+c))\)
Đặt \(t=a+b+c\) \((\)với \(t>=sqrt(3)):\)
\(P>=t^2-2+27/(8t)\)
\(P=(t^2-3)+3/8*(3/t-1)+17/8\)
\(P=(t-sqrt(3))(t+sqrt(3))+9/(8t)*(sqrt(3)-t)+17/8\)
\(P>=17/8\) \((\)vì \(t>=sqrt(3))\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a=b=c=1/sqrt(3).\)
Vậy GTNN của \(P\) là \(17/8.\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment