Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về số tự nhiên. Bài toán này sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng tư duy logic và cách lập luận chặt chẽ trong Toán học.

Đề bài: Cho \(3\) số tự nhiên \(a, b, c\) thỏa mãn \(a + b + c = 15\). Chứng minh rằng ít nhất \(1\) trong \(3\) số đó không nhỏ hơn \(5\).

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích đề bài nhé:

• Số tự nhiên: Tức là \(a, b, c\) có thể là \(0, 1, 2, 3, \ldots\).

• Thỏa mãn \(a + b + c = 15\): Đây là giả thiết mà đề bài cho chúng ta biết.

• Chứng minh rằng ít nhất \(1\) trong \(3\) số đó không nhỏ hơn \(5\): Đây là điều chúng ta cần chứng minh. “Không nhỏ hơn \(5\)” có nghĩa là lớn hơn hoặc bằng \(5\), tức là \(\ge 5\). Vậy, chúng ta cần chứng minh rằng \(a \ge 5\) HOẶC \(b \ge 5\) HOẶC \(c \ge 5\).

Đối với dạng bài chứng minh “ít nhất một” như thế này, một trong những phương pháp hiệu quả mà chúng ta hay dùng là phương pháp chứng minh phản chứng. Chúng ta sẽ giả sử điều ngược lại với điều cần chứng minh là đúng, sau đó chỉ ra rằng giả sử đó dẫn đến một điều vô lý (mâu thuẫn với giả thiết hoặc một sự thật hiển nhiên). Khi đó, giả sử ban đầu là sai, và điều chúng ta cần chứng minh là đúng.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt tay vào giải bài toán này nhé!

Bài giải:

Giả sử điều ngược lại với kết luận cần chứng minh là đúng. Tức là, không có số nào trong \(a, b, c\) lớn hơn hoặc bằng \(5\).

Điều này có nghĩa là cả ba số \(a, b, c\) đều nhỏ hơn \(5\).

Vì \(a, b, c\) là các số tự nhiên và chúng nhỏ hơn \(5\), nên chúng ta có thể viết các bất đẳng thức sau:

\(a \lt 5\)

\(b \lt 5\)

\(c \lt 5\)

Vì \(a, b, c\) là số tự nhiên, “nhỏ hơn \(5\)” có nghĩa là chúng chỉ có thể nhận các giá trị \(0, 1, 2, 3, 4\). Do đó, giá trị lớn nhất mà mỗi số có thể đạt được là \(4\).

Chúng ta có thể viết lại các bất đẳng thức trên thành:

\(a \le 4\)

\(b \le 4\)

\(c \le 4\)

Bây giờ, chúng ta hãy cộng ba bất đẳng thức này lại với nhau (cộng vế theo vế):

\(a + b + c \le 4 + 4 + 4\)

Thực hiện phép cộng ở vế phải, ta được:

\(a + b + c \le 12\)

Tuy nhiên, theo giả thiết của đề bài, chúng ta được cho biết rằng:

\(a + b + c = 15\)

Đến đây, chúng ta thấy có một sự mâu thuẫn rõ ràng!

Từ giả sử của chúng ta, chúng ta suy ra được \(a + b + c \le 12\).

Trong khi đó, đề bài lại cho \(a + b + c = 15\).

Rõ ràng, \(15 \not\le 12\). Đây là một điều vô lý!

Vì giả sử ban đầu của chúng ta (“cả ba số \(a, b, c\) đều nhỏ hơn \(5\)”) đã dẫn đến một mâu thuẫn, điều đó có nghĩa là giả sử đó là sai.

Vậy, điều ngược lại của giả sử phải là đúng.

Điều ngược lại của “cả ba số \(a, b, c\) đều nhỏ hơn \(5\)” chính là “ít nhất một trong ba số đó không nhỏ hơn \(5\) (tức là lớn hơn hoặc bằng \(5\))”.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng ít nhất \(1\) trong \(3\) số \(a, b, c\) đó không nhỏ hơn \(5\).

Đây là một ví dụ điển hình về cách sử dụng phương pháp phản chứng để giải quyết các bài toán chứng minh. Các em hãy ghi nhớ phương pháp này nhé!