Cho A = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^100 . Tìm số tự nhiên n biết 2A + 3 = 3n
Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến lũy thừa và tổng các số hạng. Đây là một dạng bài rất hay giúp chúng ta rèn luyện tư duy toán học.
Đề bài cho chúng ta như sau:
Cho \(A = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{100}\). Tìm số tự nhiên n biết \(2A + 3 = 3^n\).
Chúng ta hãy cùng nhau đi từng bước một nhé!
Bước 1: Tính giá trị của biểu thức 2A
Đầu tiên, chúng ta hãy nhìn vào biểu thức A:
\(A = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{100}\)
Đây là một dạng tổng đặc biệt mà chúng ta có một “mẹo” nhỏ để tính rất nhanh. Các em hãy để ý, đây là tổng của các lũy thừa của 3.
Bây giờ, chúng ta sẽ nhân cả biểu thức A này với 3. Tại sao lại là 3? Vì 3 là cơ số của các lũy thừa trong tổng.
Ta có:
\(3A = 3 \times (3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{100})\)
Khi nhân 3 vào từng số hạng, chúng ta sẽ được:
\(3A = 3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{101}\)
Tiếp theo, các em hãy quan sát kỹ hai biểu thức A và 3A. Chúng ta thấy có rất nhiều số hạng giống nhau, phải không nào? Nếu chúng ta lấy 3A trừ đi A, các số hạng giống nhau này sẽ tự động triệt tiêu cho nhau, giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức.
Lấy \(3A – A\), ta được:
\(3A – A = (3^2 + 3^3 + 3^4 + … + 3^{101}) – (3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^{100})\)
Khi trừ, các số hạng \(3^2, 3^3, …, 3^{100}\) ở cả hai vế sẽ bị loại bỏ. Vậy chúng ta còn lại gì?
\(2A = 3^{101} – 3\)
Tuyệt vời! Chúng ta đã tìm được một biểu thức rất gọn gàng cho 2A.
Bước 2: Tìm số tự nhiên n
Đề bài cho chúng ta một mối quan hệ giữa A và n:
\(2A + 3 = 3^n\)
Chúng ta vừa tìm được \(2A = 3^{101} – 3\). Bây giờ chúng ta sẽ thay giá trị này vào phương trình trên.
Thay \(2A = 3^{101} – 3\) vào phương trình, ta có:
\((3^{101} – 3) + 3 = 3^n\)
Ở vế trái, chúng ta có \(-3 + 3\), vậy chúng sẽ triệt tiêu nhau, phải không nào?
Vậy phương trình trở thành:
\(3^{101} = 3^n\)
Khi chúng ta có hai lũy thừa cùng cơ số (ở đây là cơ số 3) mà bằng nhau, thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.
Từ \(3^{101} = 3^n\), chúng ta có thể suy ra ngay:
\(n = 101\)
Kết luận:
Vậy là chúng ta đã tìm được giá trị của n!
Số tự nhiên n mà chúng ta cần tìm là 101.
Các em thấy không, với một chút kỹ năng và sự quan sát, những bài toán tưởng chừng phức tạp cũng trở nên đơn giản. Hãy luôn ghi nhớ “mẹo” tính tổng chuỗi lũy thừa này nhé, nó sẽ rất hữu ích trong nhiều bài toán khác!
Chúc các em học tốt!
Đáp án:
\(n=101\)
Giải thích các bước giải:
Ta có: \(A=3+3^{2}+3^{3}+…+3^{100}\)
\(->3A=3.(3+3^{2}+3^{3}+…+3^{100})\)
\(->3A=3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{101}\)
Khi đó:
\(3A-A=(3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{101})-(3+3^{2}+3^{3}+…+3^{100})\)
\(->2A=3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{101}-3-3^{2}-3^{3}-…-3^{100}\)
\(->2A=(3^{2}-3^{2})+(-3)+(3^{3}-3^{3})+(3^{4}-3^{4})+…+(3^{100}-3^{100})+3^{101}\)
\(->2A=3^{101}-3\)
\(->A=(3^{101}-3)/(2)\)
Khi đó: \(2.A+3=3^{n}(đ k : n\inNN)\)
\(2.(3^{101}-3)/(2)+3=3^{n}\)
\(3^{101}-3+3=3^{n}\)
\(3^{n}=3^{101}\)
\(n=101(tmđk)\)
Vậy \(n=101\)
Tham khảo \(:\)
\(-3\) không phải âm đâu đó là biểu thức ý ạ .
Đề bài\(:\) \(A = 3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^100\)
Giải \(:\)
\(3*A = 3^2 + 3^3 + … + 3^100 + 3^101\)
\(A\)\(=\) \(3 + 3^2 + 3^3 + … + 3^100\)
\(text{____________________________________________________}\)
\(2*A = (3^101 – 3)\)
\(A = (3^101 – 3) : 2\)
Khi đó\(:\) \(2 . (3^101 – 3) : 2 + 3 = 3^n\)
\(3^101 – 3 + 3 = 3^n\)
\(3^101 – 3 = 3^n – 3\)
\(3^101 = 3^n – 3 + 3\)
\(3^101 = 3^n\)
\(3^101 = 3^101\)
\(=>\) \(n = 101 in NN (\)Thỏa mãn\()\)
Vậy\(: n = 101\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment