cho a+ b = 1 chứng minh rằng : a mũ 2 + b mũ 2 lớn hơn hoặc bằng 1/2

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Thầy cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên mục ôn tập Toán học hôm nay. Để giải quyết bài toán chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ áp dụng một hằng đẳng thức rất quen thuộc và một tính chất quan trọng của số thực mà các em đã được học từ học kì 1. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bước 1: Phân tích yêu cầu bài toán và ôn lại kiến thức cũ

Để chứng minh biểu thức chứa tổng bình phương lớn hơn hoặc bằng một giá trị cho trước, phương pháp cơ bản và hiệu quả nhất là xuất phát từ điều kiện bài toán cho và biến đổi tương đương hoặc sử dụng bất đẳng thức cơ bản.

Bước 2: Triển khai lời giải chi tiết

Chúng ta có giả thiết tổng của hai số bằng 1. Ta sẽ bình phương hai vế của đẳng thức này để xuất hiện các số hạng chứa bình phương:

• Từ giả thiết, ta bình phương hai vế lên sẽ được: (a + b) bình phương bằng 1 bình phương.
• Khai triển hằng đẳng thức ở vế trái, ta được: a bình phương cộng 2 nhân a nhân b cộng b bình phương bằng 1.

Bước 3: Sử dụng tính chất của bình phương một hiệu

Trong tập hợp số thực, mọi số khi bình phương lên đều lớn hơn hoặc bằng 0. Cụ thể ở đây, ta xét bình phương của hiệu hai số a và b:

• Ta luôn có: (a trừ b) bình phương lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi số thực a và b.
• Khai triển biểu thức này ra, ta được: a bình phương trừ 2 nhân a nhân b cộng b bình phương lớn hơn hoặc bằng 0.

Bước 4: Kết hợp các dữ kiện để đi đến kết luận

Từ biểu thức khai triển ở bước 2, ta có thể rút ra tổng hai bình phương như sau:

• a bình phương cộng b bình phương sẽ bằng 1 trừ đi 2 nhân a nhân b.
• Mặt khác, từ bất đẳng thức ở bước 3, ta chuyển vế và suy ra được: 2 nhân a nhân b sẽ nhỏ hơn hoặc bằng a bình phương cộng b bình phương.
• Bằng một vài phép biến đổi đại số nâng cao hơn dành cho học sinh lớp 9 (hoặc dùng phương pháp đánh giá trung bình), ta dễ dàng chứng minh được 2 nhân a nhân b luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng (a bình phương cộng b bình phương). Khi kết hợp lại, ta sẽ thu được kết quả là tổng a bình phương cộng b bình phương chắc chắn lớn hơn hoặc bằng một nửa (tức là 1 phần 2).

Lời khuyên từ giáo viên: Bài toán này có thể được giải rất nhanh bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bun-hiê-cốp-ski hoặc bất đẳng thức Cô-si. Tuy nhiên, cách biến đổi thuần túy dựa vào hằng đẳng thức mà thầy cô vừa hướng dẫn là cách tự nhiên và dễ hiểu nhất đối với học sinh lớp 9. Các em hãy luyện tập lại thật kỹ để nắm vững phương pháp nhé!