Chào các em học sinh lớp 7!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến tính chất của các số nguyên.

Đề bài: Cho \(a\), \(b\), \(c\) là 3 số nguyên thỏa mãn \(a + b + c = 0\). Chứng minh rằng \(a^3 + b^3 + c^3\) chia hết cho 3.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một và sử dụng các kiến thức đã học.

Bước 1: Phân tích điều kiện đề bài

Chúng ta có điều kiện quan trọng nhất là \(a + b + c = 0\). Điều này cho phép chúng ta biểu diễn một biến theo hai biến còn lại.

Từ \(a + b + c = 0\), ta có thể suy ra: \(c = -(a + b)\).

Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần chứng minh theo \(a\) và \(b\)

Biểu thức chúng ta cần chứng minh chia hết cho 3 là \(a^3 + b^3 + c^3\). Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(c\) bằng \( -(a + b) \) vào biểu thức này:

\(a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 + (-(a + b))^3\)

Ta biết rằng \(( -x )^3 = -x^3\). Do đó:

\(a^3 + b^3 + (-(a + b))^3 = a^3 + b^3 – (a + b)^3\)

Bước 3: Khai triển biểu thức và rút gọn

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển \((a + b)^3\). Chúng ta nhớ lại hằng đẳng thức:

\((x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\)

Áp dụng vào \((a + b)^3\), ta có:

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Thay biểu thức này vào biểu thức ở Bước 2:

\(a^3 + b^3 – (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)\)

Bây giờ, chúng ta tiến hành bỏ ngoặc và đổi dấu:

\(a^3 + b^3 – a^3 – 3a^2b – 3ab^2 – b^3\)

Tiếp theo, chúng ta rút gọn các hạng tử đồng dạng:

\((a^3 – a^3) + (b^3 – b^3) – 3a^2b – 3ab^2\)

Kết quả là:

\( -3a^2b – 3ab^2\)

Bước 4: Chứng minh biểu thức rút gọn chia hết cho 3

Chúng ta có biểu thức sau khi rút gọn là \( -3a^2b – 3ab^2 \). Bây giờ, chúng ta sẽ đặt nhân tử chung:

\(-3a^2b – 3ab^2 = -3(a^2b + ab^2)\)

Hoặc chúng ta có thể đặt nhân tử chung là \(ab\):

\(-3ab(a + b)\)

Các em thấy không, biểu thức \( -3ab(a + b) \) luôn có một thừa số là -3. Vì -3 là một số nguyên chia hết cho 3, nên bất kỳ tích nào có chứa thừa số -3 đều sẽ chia hết cho 3.

Do đó, \( -3ab(a + b) \) chia hết cho 3.

Kết luận:

Vì \(a^3 + b^3 + c^3 = -3ab(a + b)\), và \( -3ab(a + b) \) chia hết cho 3, nên \(a^3 + b^3 + c^3\) chia hết cho 3.

Chúng ta đã chứng minh thành công điều phải chứng minh!

Các em về nhà làm thêm các bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.

Hẹn gặp lại các em trong buổi học tới!